【題目】如圖甲所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC. BF與CE相交于點M
(1)求證:①△ACE≌△AFB;②EC⊥BF.
(2)如圖乙連接EF,畫出△ABC邊BC上的高線AD,延長DA交EF于點N,其他條件不變,下列四個結(jié)論:①∠EAN=∠ABC;
②△AEN≌△BAD;③;④EN=FN。
正確的結(jié)論是____________(把正確結(jié)論的序號全部填上)
【答案】(1)見解析(2)①③④.
【解析】
(1)先根據(jù)AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC判定△ACE≌△AFB(SAS);再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠ACM=∠AFM,根據(jù)Rt△ACF中,∠AFM+∠MFC+∠ACF=90°,可得∠ACM+∠MFC+∠ACF=90°,即△MCF是直角三角形,進而得出結(jié)論;
(2)先作EH⊥AN,交AN于點H,F(xiàn)K⊥AN,交AN延長線于點K,構(gòu)造三對全等三角形:△AEH≌△BAD,△AFK≌△ACD,△FKN≌△EHN,根據(jù)全等三角形的面積相等,即可得出S△ABD=S△EAH,S△FKA=S△ADC,S△ENH=S△FNK,根據(jù)S△ABC=S△ABD+S△ADC=S△AEH+S△AFK=(S△EAN-S△ENH)+(S△FNA+S△FNK)=S△EAN+S△FNA=S△AEF,即可得出結(jié)論③;最后根據(jù)△FKN≌△EHN,得出FN=EN即可.
(1)證明:①∵AE⊥AB,AF⊥AC,
∴∠BAE=∠CAF=90°,
∴∠BAF=∠EAC,
在△ACE和△AFB中,
∴△ACE≌△AFB(SAS);
②∵△ACE≌△AFB,
∴∠ACM=∠AFM,
∵Rt△ACF中,∠AFM+∠MFC+∠ACF=90°,
∴∠ACM+∠MFC+∠ACF=90°,
即△MCF是直角三角形,
∴∠CMF=90°,即CE⊥BF;
(2)∵∠BAE=90°,AD⊥BD,
∴∠EAN+∠BAD=90°=∠ABC+∠BAD,
∴∠EAN=∠ABC,故①正確;
∵∠AEN與∠BAD不一定相等,
∴△AEN與△BAD不一定全等,故②錯誤;
作EH⊥AN,交AN于點H,FK⊥AN,交AN延長線于點K,
∴∠AEH+∠EAH=90°,
∵∠EAB=90°,
∴∠EAH+∠BAD=90°,
∴∠AEH=∠BAD,
在△AEH和△BAD中,
∴△AEH≌△BAD(AAS),
∴EH=AD,
同理可得:△AFK≌△ACD,
∴FK=AD,
∴FK=EH,
在△FKN和△EHN中,
∴△FKN≌△EHN(AAS),
∴
即故③正確;
∵△FKN≌△EHN,
∴FN=EN,故④正確.
故答案為:①③④.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在△ABC中,∠ACB為銳角,點D為射線BC上一點,連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.(提示:正方形的四條邊都相等,四個角都是直角)
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,
①當(dāng)點D在線段BC上時(與點B不重合),如圖2,線段CF,BD所在直線的位置關(guān)系為 , 線段CF,BD的數(shù)量關(guān)系為;
②當(dāng)點D在線段BC的延長線上時,如圖3,①中的結(jié)論是否仍然成立,并說明理由;
(2)如果AB≠AC,∠BAC是銳角,點D在線段BC上,當(dāng)∠ACB滿足條件時,CF⊥BC(點C,F(xiàn)不重合),不用說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在下列條件中,不能證明△ABD≌△ACD的是( ).
A.BD=DC, AB=AC B.∠ADB=∠ADC,BD=DC
C.∠B=∠C,∠BAD=∠CAD D. ∠B=∠C,BD=DC
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【題目】如圖,△ABC為等邊三角形,AE=CD,AD、BE相交于點P,BQ⊥AD于Q.
(1)求證:△ADC≌△BEA;
(2)若PQ=4,PE=1,求AD的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明和小亮在學(xué)習(xí)探索三角形全等時,碰到如下一題:如圖①,若AC=AD,BC=BD,則△ACB與△ADB有怎樣的關(guān)系?
(1)請你幫他們解答,并說明理由;
(2)細心的小明在解答的過程中,發(fā)現(xiàn)如果在AB上任取一點E,連接CE,DE,則有CE=DE,你知道為什么嗎(如圖②)?
(3)小亮在小明說出理由后,提出如果在AB的延長線上任取一點P,也有(2)中類似的結(jié)論.請你幫他在圖③中畫出圖形,并寫出結(jié)論,不要求說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形,每個小正方形的頂點叫格點,△ABC的頂點均在格點上.
(1)畫出將△ABC向右平移2個單位后得到的△A1B1C1 , 再畫出將△A1B1C1繞點B1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后所得到的△A2B1C2;
(2)求線段B1C1旋轉(zhuǎn)到B1C2的過程中,點C1所經(jīng)過的路徑長.
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