【題目】如圖1,在△ABC中,∠ACB為銳角,點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn),連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.(提示:正方形的四條邊都相等,四個(gè)角都是直角)
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,
①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(與點(diǎn)B不重合),如圖2,線段CF,BD所在直線的位置關(guān)系為 , 線段CF,BD的數(shù)量關(guān)系為;
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖3,①中的結(jié)論是否仍然成立,并說(shuō)明理由;
(2)如果AB≠AC,∠BAC是銳角,點(diǎn)D在線段BC上,當(dāng)∠ACB滿足條件時(shí),CF⊥BC(點(diǎn)C,F(xiàn)不重合),不用說(shuō)明理由.
【答案】
(1)垂直;相等
(2)45°
【解析】解:(1)①CF與BD位置關(guān)系是垂直,數(shù)量關(guān)系是相等,理由是:
如圖2,∵四邊形ADEF是正方形,
∴AD=AF,∠DAF=90°,
∴∠DAC+∠CAF=90°,
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠DAC=90°,且∠B=∠ACB=45°,
∴∠CAF=∠BAD,
∴△BAD≌△CAF,
∴BD=CF,∠B=∠ACF=45°,
∴∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,
即∠BCF=90°,
∴BC⊥CF,
即BD⊥CF;
故答案為:垂直,相等;
②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí),①的結(jié)論仍成立,理由是:
如圖3,由正方形ADEF得AD=AF,∠DAF=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠DAF=∠BAC,
∴∠DAB=∠FAC,
又∵AB=AC,
∴△DAB≌△FAC,
∴CF=BD,
∠ACF=∠ABD,
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=45°,
∴∠ACF=∠ABC=45°
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,
即CF⊥BD;(2)當(dāng)∠BCA=45°時(shí),CF⊥BD,理由是:
如圖4,過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥AC,交BC于點(diǎn)Q,
∵∠BCA=45°,
∴∠AQC=45°,
∴∠AQC=∠BCA,
∴AC=AQ,
∵AD=AF,∠QAC=∠DAF=90°,
∴∠QAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC,
∴∠QAD=∠CAF,
∴△QAD≌△CAF,
∴∠ACF=∠AQD=45°,
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,
即CF⊥BD.
(1)①證明△BAD≌△CAF,可得:BD=CF,∠B=∠ACF=45°,則∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,所以BD與CF相等且垂直;②①的結(jié)論仍成立,同理證明△DAB≌△FAC,可得結(jié)論:垂直且相等;(2)當(dāng)∠ACB滿足45°時(shí),CF⊥BC;如圖4,作輔助線,證明△QAD≌△CAF,即可得出結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC =8cm.點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),沿路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā),沿路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P 和Q分別和的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng),兩點(diǎn)都要到相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng),在某時(shí)刻,分別過(guò)點(diǎn)P和Q作PE⊥l于E,QF⊥l于F.則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí),△PEC和△CFQ全等?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】問(wèn)題與探索
問(wèn)題情境:課堂上,老師讓同學(xué)們以“菱形紙片的剪拼”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng).如圖(1),將一張菱形紙片ABCD(∠BAD>90°)沿對(duì)角線AC剪開(kāi),得到△ABC和△ACD.
操作發(fā)現(xiàn):
(1)將圖(1)中的△ACD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α,使α=∠BAC,得到如圖(2)所示的△AC′D,分別延長(zhǎng)BC和DC′交于點(diǎn)E,則四邊形ACEC′的形狀是 .
(2)創(chuàng)新小組將圖(1)中的△ACD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α,使α=2∠BAC,得到如圖(3)所示的△AC′D,連接DB、C′C,得到四邊形BCC′D,發(fā)現(xiàn)它是矩形,請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC=12cm,且,BC=10cm,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn).如果點(diǎn)P在線段BC上以2cm/s的速度由點(diǎn)B向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q在線段AC上由點(diǎn)A向C點(diǎn)以4cm/s的速度運(yùn)動(dòng).
(1)若點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)分別從B、A兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),經(jīng)過(guò)2秒后,△BPD與△CQP是否全等,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)若點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)分別從B、A兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),△CPQ的周長(zhǎng)為18cm,問(wèn):經(jīng)過(guò)幾秒后,△CPQ是等腰三角形?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)n度后,得到△DEC,點(diǎn)D剛好落在AB邊上.
(1)求n的值;
(2)若F是DE的中點(diǎn),判斷四邊形ACFD的形狀,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在“文博會(huì)”期間,某公司展銷如圖所示的長(zhǎng)方形工藝品,該工藝品長(zhǎng)60cm,寬40cm,中間鑲有寬度相同的三條絲綢花邊.
(1)若絲綢花邊的面積為650cm2 , 求絲綢花邊的寬度;
(2)已知該工藝品的成本是40元/件,如果以單價(jià)100元/件銷售,那么每天可售出200件,另每天所需支付的各種費(fèi)用2000元,根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn),如果將銷售單價(jià)降低1元,每天可多售出20件,同時(shí),為了完成銷售任務(wù),該公司每天至少要銷售800件,那么該公司應(yīng)該把銷售單價(jià)定為多少元,才能使每天所獲銷售利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖甲所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC. BF與CE相交于點(diǎn)M
(1)求證:①△ACE≌△AFB;②EC⊥BF.
(2)如圖乙連接EF,畫出△ABC邊BC上的高線AD,延長(zhǎng)DA交EF于點(diǎn)N,其他條件不變,下列四個(gè)結(jié)論:①∠EAN=∠ABC;
②△AEN≌△BAD;③;④EN=FN。
正確的結(jié)論是____________(把正確結(jié)論的序號(hào)全部填上)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩工程隊(duì)維修同一段路面,甲隊(duì)先清理路面,乙隊(duì)在甲隊(duì)清理后鋪設(shè)路面.乙隊(duì)在中途停工了一段時(shí)間,然后按停工前的工作效率繼續(xù)工作.在整個(gè)工作過(guò)程中,甲隊(duì)清理完的路面長(zhǎng)y(米)與時(shí)間x(時(shí))的函數(shù)圖象為線段OA,乙隊(duì)鋪設(shè)完的路面長(zhǎng)y(米)與時(shí)間x(時(shí))的函數(shù)圖象為折線BC-CD-DE,如圖所示,從甲隊(duì)開(kāi)始工作時(shí)計(jì)時(shí).
(1)分別求線段BC、DE所在直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.
(2)當(dāng)甲隊(duì)清理完路面時(shí),求乙隊(duì)鋪設(shè)完的路面長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】根據(jù)下列要求,解答相關(guān)問(wèn)題.
請(qǐng)補(bǔ)全以下求不等式﹣2x2﹣4x>0的解集的過(guò)程.
①構(gòu)造函數(shù),畫出圖象:根據(jù)不等式特征構(gòu)造二次函數(shù)y=﹣2x2﹣4x;并在下面的坐標(biāo)系中(圖1)畫出二次函數(shù)y=﹣2x2﹣4x的圖象(只畫出圖象即可).
②求得界點(diǎn),標(biāo)示所需,當(dāng)y=0時(shí),求得方程﹣2x2﹣4x=0的解為;并用鋸齒線標(biāo)示出函數(shù)y=﹣2x2﹣4x圖象中y>0的部分.
③借助圖象,寫出解集:由所標(biāo)示圖象,可得不等式﹣2x2﹣4x>0的解集為﹣2<x<0.請(qǐng)你利用上面求一元一次不等式解集的過(guò)程,求不等式x2﹣2x+1≥4的解集.
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