Question

【題目】如圖，矩形中，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，連結(jié)、．點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)AP=x．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）用含的代數(shù)式表示的長；

（3）連結(jié)，當(dāng)為何值時(shí)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出CA、AB的長，根據(jù)菱形的判定定理證明即可；

（2）根據(jù)相似三角形的判定定理證明△APH∽△AEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，計(jì)算求出AH；

（3）作HG⊥AB于G，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出AG、HG，根據(jù)勾股定理表示出HE，根據(jù)題意列出方程，解方程即可

解：（1）四邊形AECF是菱形．

∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠B=90°，又，∠CAB=30°，

∴CA=2BC=，AB=6，

∵BE=2，

∴AE=AB-BE=4，

∵CF∥AE，CF=AE=4，

∴四邊形AECF是平行四邊形，又EA=EC=4，

∴四邊形AECF是菱形；

（2）∵PH∥CE，

∴△APH∽△AEC，

∴，即，

解得，AH=；

（3）

作HG⊥AB于G，

∵AH=，∠CAB=30°，

∴HG=，AG=，

∴GE=AE-AG=4-x，

由勾股定理得，HE=，

當(dāng)AH=HE時(shí)，，

解得，x=，

則當(dāng)x=時(shí)，AH=HE成立．