【題目】如圖,在ABC中,∠C=90°,點(diǎn)EAB上,以AE為直徑的⊙OBC相切于點(diǎn)D,連接AD

(1)求證:AD平分∠BAC;

(2)若⊙O的直徑為10,sin∠DAC=,求BD的長.

【答案】(1)證明見解析;(2)

【解析】(1)連接OD,先根據(jù)平行線的判定定理證明OD∥AC,然后依據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證明∠OAD=∠DAC,于是可證明AD平分∠BAC;

(2)連接ED、OD,由題意可知AE=10,接下來,在△ADA中,依據(jù)銳角三角形的定義可求得AD的長,然后在△ADC中,可求得DC和AC的長,由OD∥AC可證明△BOD∽△BAC,然后由相似三角形的性質(zhì)可列出關(guān)于BD的方程.

解:(1)如圖1,連接OD.

∵⊙O與BC相切于點(diǎn)D,

∴OD⊥BC,

∴∠ODB=90°,

∵∠C=90°,

∴∠C=∠ODB,

∴OD∥AC,

∴∠ODA=∠DAC,

∵OD=OA,

∴∠OAD=∠ODA,

∴∠OAD=∠DAC,

∴AD平分∠BAC.

(2)如圖2,連接ED.

∵⊙O的直徑為10,AE是⊙O的直徑,

∴AE=10,∠EDA=90°,

∵∠EAD=∠DAC,sin∠DAC=

∴sin∠EAD==,

∴DE=,

∴AD==,

同理可求DC=4,AC=8,

∵OD∥AC,

∴△BOD∽△BAC,

=,即=,解得:BD=

“點(diǎn)睛”本題主要考查的是切線的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、相似三角形的判定和性質(zhì),列出關(guān)于BD的方程是解題的關(guān)鍵.

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