【題目】如圖,拋物線y=-x2+2x+3x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸相交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.

(1)求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱軸;

(2)連接BC,與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)PPFDE交拋物線于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m;

①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長(zhǎng),并求出當(dāng)m為何值時(shí),四邊形PEDF為平行四邊形?

②設(shè)△BCF的面積為S,求Sm的函數(shù)關(guān)系式,S是否有最大值?如有,請(qǐng)求出最大值,沒(méi)有請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1A﹣1,0),B3,0),C0,3),拋物線對(duì)稱軸為直線x=1;(2)見(jiàn)解析

【解析】

試題(1)對(duì)于拋物線解析式,令y=0求出x的值,確定出AB坐標(biāo),令x=0求出y的值確定出C的做準(zhǔn)備,進(jìn)而求出對(duì)稱軸即可;(2根據(jù)BC坐標(biāo),利用待定系數(shù)法確定出直線BC解析式,進(jìn)而表示出EP坐標(biāo),根據(jù)拋物線解析式確定出DF坐標(biāo),表示出PF,利用平行四邊形的判定方法確定出m的值即可;連接BF,設(shè)直線PFx軸交于點(diǎn)M,求出OB的長(zhǎng),三角形BCF面積等于三角形BFP面積加上三角形CFP面積,列出S關(guān)于m的二次函數(shù)解析式,利用二次函數(shù)性質(zhì)確定出S取得最大值時(shí)m的值即可.

試題解析:(1)對(duì)于拋物線y=﹣x2+2x+3,

x=0,得到y=3

y=0,得到﹣x2+2x+3=0,即(x﹣3)(x+1=0,

解得:x=﹣1x=3,

A﹣10),B30),C0,3),拋物線對(duì)稱軸為直線x=1

2設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b,

B3,0),C0,3)分別代入得:,

解得:k=﹣1,b=3,

直線BC的解析式為y=﹣x+3

當(dāng)x=1時(shí),y=﹣1+3=2

∴E1,2),

當(dāng)x=m時(shí),y=﹣m+3,

∴Pm,﹣m+3),

y=﹣x2+2x+3x=1,得到y=4

∴D1,4),

當(dāng)x=m時(shí),y=﹣m2+2m+3,

∴Fm,﹣m2+2m+3),

線段DE=4﹣2=2

∵0m3,

∴yFyP,

線段PF=﹣m2+2m+3﹣﹣m+3=﹣m2+3m,

連接DF,由PF∥DE,得到當(dāng)PF=DE時(shí),四邊形PEDF為平行四邊形,

﹣m2+3m=2,得到m=2m=1(不合題意,舍去),

則當(dāng)m=2時(shí),四邊形PEDF為平行四邊形;

連接BF,設(shè)直線PFx軸交于點(diǎn)M,由B30),O0,0),可得OB=OM+MB=3

∵S=SBPF+SCPF=PFBM+PFOM=PFBM+OM=PFOB,

∴S=×3﹣m2+3m=﹣m2+m0m3),

則當(dāng)m=時(shí),S取得最大值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求證:ADE≌△BFE;

(2)若DF平分ADC,連接CE.試判斷CE和DF的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.

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2)連接,作,于點(diǎn).時(shí),如圖2

______;

②求證:為等腰三角形;

(3)連接CD,∠CDE=30°,在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,的形狀可以是等腰三角形嗎?若可以,請(qǐng)求出的度數(shù);若不可以,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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A.6B.C.D.3

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②梯子的頂端從A處沿墻AO下滑的距離與點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離有可能相等嗎?若有可能,請(qǐng)求出這個(gè)距離,沒(méi)有可能請(qǐng)說(shuō)明理由.

③若將上題中的梯子換成15米長(zhǎng)的直木棒,將木棒緊靠墻豎直放置然后開(kāi)始下滑直至直木棒的頂端A滑至墻角O處,試求出木棒的中點(diǎn)Q滑動(dòng)的路徑長(zhǎng).

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