Question

【題目】在中，，，點是線段上一動點（不與，重合）.

（1）如圖1，當點為的中點，過點作交的延長線于點，求證：；

（2）連接，作，交于點.若時，如圖2．

①______；

②求證：為等腰三角形；

（3）連接CD，∠CDE=30°，在點的運動過程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出的度數(shù)；若不可以，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①120°；②證明見解析；（3）可以是等腰三角形，此時的度數(shù)為或．

【解析】

（1）先證明△ACD與△BFD全等，即可得出結(jié)論；

（2）①先根據(jù)等邊對等角及三角形的內(nèi)角和求出∠B的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)可得出∠ADE的度數(shù)，最后根據(jù)平角的定義可求出∠CDB的度數(shù)；②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)可得出∠A=∠EDA，從而可得出結(jié)論；

（3）先假設△ECD可以是等腰三角形，再分以下三種情況：I.當時，；II.當時，；III.當時，，然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和以及三角形外角的性質(zhì)求解即可．

（1）證明：，是的中線，

．

，．

，

，

；

（2）①解：∵AC=BC，∠ACB=120°，

∴∠A=∠B=（180°-120°）÷2=30°，

又DE∥BC，

∴∠ADE=∠B=30°，

∴∠CDB=180°-∠ADE-∠EDC=120°，

故答案為：；

②證明：，．

，．

，

為等腰三角形．

（3）解：可以是等腰三角形，理由如下：

I.當時，，如圖3，

．

，

．

II.當時，，如圖4，

，

．

．

III.當時，．

∴，

，

此時，點與點重合，不合題意．

綜上所述，可以是等腰三角形，此時的度數(shù)為或．