【題目】問題探究
(1)如圖1,已知銳角△ABC中,點D在BC邊上,當線段AD最短時,請你在圖中畫出點D的位置.
圖1
(2)若一個四邊形的四個頂點分別在一個三角形的三條邊上;則稱這個四邊形為該三角形的內(nèi)接四邊形.
如圖2,在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,∠B=90°.矩形BEFG是△ABC的內(nèi)接矩形,若EF=2,則矩形BEFG的面積為_________
如圖3,在△ABC中,AB=,BC=8,∠B=45°,矩形DEFG是△ABC的一個內(nèi)接矩形且D、E在邊BC上.若EF=2,求矩形DEFG的面積;
圖2 圖3
問題解決:
(3)如圖4,△ABC是一塊三角形木板余料,AB=6,BC=8,∠B=30°,木匠師傅想利用它裁下一塊矩形DEFG木塊,矩形DEFG是△ABC的一個內(nèi)接矩形且D、E在邊BC上,請在圖4中畫出對角線DF最短的矩形DEFG,請說明理由,并求出此時DF的長度.
圖4
【答案】(1)詳見解析;(2);;(3).
【解析】
(1)根據(jù)點到直線的距離,垂線段最短可得:過點A作AD⊥BC交BC于點D,則線段AD即為所求;
(2)①由矩形性質(zhì)可得:EF//AB,則△ABC∽△FEC,所以,即,解得EC=,從而求得BE=8-=,從而求得S矩形BEFG的面積;
②過點A作AH⊥BC于點H,由∠B=45°,AB=可得:BH=AH=6,則CH=BC-BH=8-6=2,由矩形性質(zhì)可得:EF=DG=2,EF//AH//DG,則△BDG∽△ABH,△ACH∽FCE,則,從而求得BD=2,CE=,從而求得DE=BC-BD-CE=8-2-=,從而求得矩形BEFG的面積;
問題解決:
(3) 過點A作AH⊥BC于點H,由∠B=30°,AB=可得:AH=3,BH=3,則CH=BC-BH=8-3,設(shè)EF=x,由矩形性質(zhì)可得:EF=DG=x,EF//AH//DG,則△BDG∽△ABH,△ACH∽FCE,則從而求得BD=,CE=,則DF=BC-BD-CE=8-,又由DF=可得,則求DF最小值即轉(zhuǎn)化為求的最小值.
(1)如圖所示:過點A作AD⊥BC交BC于點D,則線段AD即為所求;
(2)①∵四邊形BEFG是矩形,
∴EF//AB,
∴△ABC∽△FEC,
∴,
又∵EF=2,AB=6,BC=8,
∴,解得EC=,
又∵BE=BC-EC,
∴BE=8-=,
∴S矩形BEFG=;
②過點A作AH⊥BC于點H,如圖所示:
∵∠B=45°,AB=
∴BH=AH=6,
又∵BC=8,
∴CH=BC-BH=8-6=2,
∵四邊形BEFG是矩形,
∴EF=DG=2,EF//AH//DG,
∴△BDG∽△ABH,△ACH∽FCE,
∴,
又∵AH=6,DG=2,BH=6,EF=2,
∴BD=2,CE=,
又∵DE=BC-BD-CE
∴DE=8-2-=,
∴矩形BEFG的面積為:;
(3) 過點A作AH⊥BC于點H,如圖所示:
∵∠B=30°,AB=,
∴AH=3,BH=3,
又∵BC=8,
∴CH=BC-BH=8-3,
設(shè)EF=x,
四邊形BEFG是矩形,
∴EF=DG=x,EF//AH//DG,
∴△BDG∽△ABH,△ACH∽FCE,
∴,
即為:
∴BD=,CE=,
∴DE=BC-BD-CE=8--==8-,
又∵DF=
∴當x=時,DF有最小值為=.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,P為AD上一點,將△ABP沿BP翻折至△EBP,PE與CD相交于點O,BE與CD相交于點G,且OE=OD,則AP的長為______.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,AB為⊙O的直徑,點C、D在⊙O上,且BC=6cm,AC=8cm,∠ABD=45°.
(1)求BD的長;
(2)求圖中陰影部分的面積.
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【題目】如圖,在△ABC中,D,E分別是AB,BC邊上的點,且DE∥AC,若,,則△ACD的面積為( )
A. 64 B. 72 C. 80 D. 96
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【題目】甲、乙兩人在玩轉(zhuǎn)盤游戲時,把兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤A、B分成4等份、3等份的扇形區(qū)域,并在每一小區(qū)域內(nèi)標上數(shù)字(如圖所示),指針的位置固定.游戲規(guī)則:同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤,當轉(zhuǎn)盤停止后,若指針所指兩個區(qū)域的數(shù)字之和為3的倍數(shù),甲勝;若指針所指兩個區(qū)域的數(shù)字之和為4的倍數(shù)時,乙勝.如果指針落在分割線上,則需要重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤.
(1)試用列表或畫樹形圖的方法,求甲獲勝的概率;
(2)請問這個游戲規(guī)則對甲、乙雙方公平嗎?試說明理由.
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【題目】在中,,,點是線段上一動點(不與,重合).
(1)如圖1,當點為的中點,過點作交的延長線于點,求證:;
(2)連接,作,交于點.若時,如圖2.
①______;
②求證:為等腰三角形;
(3)連接CD,∠CDE=30°,在點的運動過程中,的形狀可以是等腰三角形嗎?若可以,請求出的度數(shù);若不可以,請說明理由.
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【題目】如圖,△ABC內(nèi)接與⊙O,AB是直徑,⊙O的切線PC交BA的延長線于點P,OF∥BC交AC于AC點E,交PC于點F,連接AF.
(1)判斷AF與⊙O的位置關(guān)系并說明理由;
(2)若⊙O的半徑為4,AF=3,求AC的長.
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【題目】如圖,一個長為15m的梯子斜靠在墻上,梯子的頂端距地面的距離為12m,
①如果梯子的頂端下滑了1m,那么梯子的底端也向后滑動1m嗎?請通過計算解答.
②梯子的頂端從A處沿墻AO下滑的距離與點B向外移動的距離有可能相等嗎?若有可能,請求出這個距離,沒有可能請說明理由.
③若將上題中的梯子換成15米長的直木棒,將木棒緊靠墻豎直放置然后開始下滑直至直木棒的頂端A滑至墻角O處,試求出木棒的中點Q滑動的路徑長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,△ACE是等腰三角形,∠AEC=120°,AE=CE,F為BC中點,連接AE.
(1)直接寫出∠BAE的度數(shù)為 ;
(2)判斷AF與CE的位置關(guān)系,并說明理由.
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