【題目】如圖,已知等腰直角三角形中,、、分別為邊、、的中點(diǎn),點(diǎn)為斜邊所在直線上一動點(diǎn),且三角形為等腰直角三角形(,、、呈逆時針).
如圖點(diǎn)在邊上,判斷和的數(shù)量和位置關(guān)系,請直接寫出你的結(jié)論.
如圖點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時;如圖,點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè).其他條件不變,中結(jié)論是否仍然成立,并選擇圖或圖的一種情況來說明理由.
在圖中若,連接,請猜測與的數(shù)量關(guān)系,即________.(用含的三角函數(shù)的式子表示)
【答案】(1)AN=MF且AN⊥MF;(2)成立,證明詳見解析;(3)(sinα+cosα).
【解析】
(1)連接DF,則DF就是△ABC的中位線,即可得△BDF是等腰直角三角形,所以BD=DF=AD,由∠AND+∠FDN=90°,∠FDM+∠FDN=90°可得∠AND=∠FDM,在△AND和△FDM中,DN=DM,∠AND=∠FDM,AD=DF,利用SAS判定△AND≌△FDM,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AN=FM,∠DAN=∠DFM=45°,根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)即可得AN⊥MF;(2)成立,選擇圖②,類比(1)的方法即可證明;(3)證明△DAN≌△EAN,得出EN=DN,進(jìn)一步得出DM=EN,作DH⊥BC于H,由∠DFM=45°,證得△DHF是等腰直角三角形,得出FH=DH,然后解直角三角形得出MH=DMsinα,DH=DMcosα,從而得出MF=MH+FH=DM(sinα+cosα)=(sinα+cosα)EN.
(1)AN=MF且AN⊥MF;
(2)成立.
連接DF,NF,如圖2①,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AB=AC,∠BAC=90°.
又∵D,E,F(xiàn)是三邊的中點(diǎn),
∴DF∥AC,DF=AC=AB=AD,
∴∠BDF=90°,∠MFD=∠C=45°,
∴∠MDN=∠BDF,
∴∠FDM=∠ADN,
在△FDM和△ADN中, ,
∴△FDM≌△ADN(SAS),
∴FM=AN,∠DAN=∠MFD=45°.
∴AN是∠BAC的平分線,
∴AN⊥BC,
即AN⊥MF;
(3)由(2)可知:∠DAN=∠EAN,如圖2②,
∵D、E分別為邊AB、ACC的中點(diǎn),AB=AC,
∴AD=AE,
在△DAN和△EAN中, ,
∴△DAN≌△EAN(SAS),
∴EN=DN,
∵DM=DN,
∴DM=EN,
作DH⊥BC于H,
∵∠DFM=45°,
∴△DHF是等腰直角三角形,
∴FH=DH,
∵M(jìn)H=DMsinα,DH=DMcosα,
∴FH=DH=DMcosα,
∴MF=MH+FH=DM(sinα+cosα)=(sinα+cosα)EN,
即MF=(sinα+cosα)EN;
故答案為:(sinα+cosα).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,半圓O的直徑DE=12 cm,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=12 cm.半圓O以2 cm/s的速度自左向右運(yùn)動,在運(yùn)動過程中,點(diǎn)D,E始終在直線BC上.設(shè)運(yùn)動時間為t s,當(dāng)t=0時,半圓O在△ABC的左側(cè),OC=8 cm.
(1)當(dāng)t=________s時,半圓O與AC所在直線第一次相切;點(diǎn)C到直線AB的距離為________.
(2)當(dāng)t為何值時,直線AB與半圓O所在的圓相切?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△OAB中,OA=OB,C為AB中點(diǎn),以O為圓心,OC長為半徑作圓, AO與⊙O交于點(diǎn)E,直線OB與⊙O交于點(diǎn)F和D,連接EF.CF,CF與OA交于點(diǎn)G.
(1)求證:直線AB是⊙O的切線;
(2)求證:ODEG=OGEF;
(3)若AB=4BD,求sinA的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,以正方形的頂點(diǎn)為圓心的弧恰好與對角線相切,以頂點(diǎn)為圓心,正方形的邊長為半徑的弧,已知正方形的邊長為,則圖中陰影部分的面積為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是的直徑,點(diǎn)在上,過點(diǎn)作的切線.
求證:;
延長到,使,連接與交于點(diǎn),若的半徑為,,求的外接圓的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】三個小島、、的位置如圖所示,在處測得小島在的北偏東方向,在處測得小島在的北偏東方向,且、之間的距離是海里,求:小島在小島的正東方向多少海里?(精確到海里)(參考數(shù)據(jù):,,,,,)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】列方程解應(yīng)用題:京張高鐵是一條連接北京市與河北省張家口市的城際鐵路.2019年底,京張高鐵正式開通,京張高鐵是我國“八縱八橫”高鐵網(wǎng)的重要組成部分,也是2022年北京冬奧會重要的交通保障設(shè)施.已知該高鐵全長約180千米,按照設(shè)計,京張高鐵列車的平均行駛速度是普通快車的3倍,全程用時比普通快車少用1個小時,求京張高鐵列車的平均行駛速度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】A,B兩地相距200千米,甲車從A地出發(fā)勻速行駛到B地,乙車從B地出發(fā)勻速行駛到A地.乙車行駛1小時后,甲車出發(fā),兩車相向而行.設(shè)行駛時間為x小時(0≤x≤5),甲、乙兩車離A地的距離分別為y1,y2千米,y1,y2與x之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖1所示.根據(jù)圖象解答下列問題:
(1)求y1,y2與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)乙車出發(fā)幾小時后,兩車相遇?相遇時,兩車離A地多少千米?
(3)設(shè)行駛過程中,甲、乙兩車之間的距離為s千米,在圖2的直角坐標(biāo)系中,已經(jīng)畫出了s與x之間的部分函數(shù)圖象.
①圖中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,m),則m= ;
②求s與x的函數(shù)關(guān)系式,并在圖2中補(bǔ)全整個過程中s與x之間的函數(shù)圖象.
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