Question

【題目】如圖，取一張長方形紙片ABCD，沿AD邊上任意一點(diǎn)M折疊后，點(diǎn)D、C分別落在D′、C′的位置，設(shè)折痕為MN，D′C′交BC于點(diǎn)E且∠AMD′=α，∠NEC′=β

（1）探究α、β之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

（2）連接AD′是否存在折疊后△AD′M與△C′EN全等的情況？若存在，請給出證明；若不存在，請直接作否定的回答，不必說明理由．

Answer 1

【答案】(1)、α+β=90°；(2)、點(diǎn)D′與點(diǎn)B重合時(shí)，△AD′M與△C′EN全等；證明過程見解析.

【解析】

試題分析：(1)、α+β=90°．如圖1，延長MD′交BC于點(diǎn)F．利用平行線的性質(zhì)得到：∠AM D′=∠MFE=α．然后根據(jù)折疊的性質(zhì)推知：∠MFE+∠D′EF=90°，∠D′EF=∠NEC′，故α+β=90°；(2)、當(dāng)點(diǎn)D′與點(diǎn)B重合時(shí)，△AD′M與△C′EN全等．如圖2，此時(shí)，B、E、D′三點(diǎn)重合．利用折疊的性質(zhì)和全等三角形的判定定理HL證得這兩個(gè)三角形全等；

試題解析：(1)、α+β=90°．理由如下：

如圖1，延長MD′交BC于點(diǎn)F．∵AD∥BC， ∴∠AM D′=∠MFE=α．

又∠MD′E=∠D=90°，∠FD′E=90°，∴∠MFE+∠D′EF=90°，∠D′EF=∠NEC′， 故α+β=90°；

(2)、當(dāng)點(diǎn)D′與點(diǎn)B重合時(shí)，△AD′M與△C′EN全等．

如圖2，此時(shí)，B、E、D′三點(diǎn)重合．∵由折疊可知，∠1=∠2，∴∠C′=∠C=∠A=90°，C′E=CD．

∵AD∥BC，∠2=∠3， 得∠1=∠3，即D′M=EN． 又AD′=DC， ∴AD′=C′E，

∴在Rt△AD′M與Rt△C′EN中，，故Rt△AD′M≌Rt△C′EN（HL）．