Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0，3）、（7，0），點(diǎn)C在第一象限，AC∥x軸，∠OBC=45°．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)D在線段AC上，CD=1，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（n，0），在直線DE的右側(cè)作∠DEG=45°，直線EG與直線BC相交于點(diǎn)F，設(shè)BF=m，當(dāng)n＜7且n≠0時(shí)，求m關(guān)于n的函數(shù)解析式，并直接寫出n的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

作CM⊥x軸于點(diǎn)M，如圖1，

則∠CMB=∠AOM=90°，

∴CM∥AO，

∵AC∥x軸，

∴四邊形AOMC是矩形，

∴CM=AO=3，AC=OM，

∵∠OBC=45°，

∴MB=MC=3，

∴OM=7﹣3=4，

∴C（4，3）；

（2）

解：①當(dāng)點(diǎn)E在線段OB上時(shí)，即當(dāng)0＜n＜7時(shí)，如圖2，連接OD，

∵CD=1，

∴AD=3=AO，

∴∠AOD=∠ADO=45°=∠DOB=∠OBC，

∵∠OEF=∠EFB+∠EBF，即∠OED+∠DEF=∠EFB+∠EBF，

∴∠OED=∠EFB，

∴△DOE∽△EBF，

∴ = ，即 = ，

∴m=﹣ n2+ n；

②當(dāng)點(diǎn)E在線段BO的延長線上時(shí)，即n＜0時(shí)，連接OD，如圖3，

由（1）知∠DOB=∠OBC，

∴∠DOE=∠EBF，

∵∠DEF=45°=∠OBC，

∴∠DEO+∠BEF=∠BFE+∠BEF，

∴∠DEO=∠BFE，

∴△DOE∽△EBF，

∴ = ，即 = ，

∴m= n2﹣ n；

綜上可知m與n的函數(shù)關(guān)系式為m= ．

【解析】（1）作CM⊥x軸于點(diǎn)M，利用等腰直角三角形和矩形的性質(zhì)可求得OM和CM的長，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）①當(dāng)E在線段OB上時(shí)，連接OD，利用條件可證得△DOE∽△EBF，利用相似三角形的性質(zhì)可得到m與n之間的關(guān)系；②當(dāng)點(diǎn)E在線段BO的延長線上時(shí)，同樣可證得△DOE∽△EBF，可得到m與n之間的關(guān)系．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰直角三角形和矩形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°；矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等才能正確解答此題．