Question

【題目】如圖，拋物線的圖象與x軸交A（-3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），點D為拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設點T在第二象限的拋物線上，若其關于原點的對稱點也在拋物線上，求點T的坐標；

（3）點M為線段AB上一點（點M不與點A，B重合），過M作x軸的垂線，與直線AC交于點E，與拋物線交于點P，過P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過Q作QN⊥x軸于N，當矩形PMNQ的周長最大時，求△AEM的面積．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）T（-，2）；（3）．

【解析】

（1）用待定系數法，即可求出解析式；

（2）設點T坐標，表示出點T關于原點對稱的點，代入解析式，求出點T坐標；

（3）設M點橫坐標為m，則PM=-m2-2m+3，MN=（-m-1）×2=-2m-2，矩形PMNQ的周長=-2m2-8m+2，將-2m2-8m+2配方，根據二次函數的性質，即可得出m的值，然后求得直線AC的解析式，把x=m代入可以求得E點坐標，從而求得三角形的面積．

解：（1）設解析式y=a（x-1）（x+3）

將C（0，3）代入得a =-1

∴解析式為y=-x2-2x+3

（2）設T（m，-m2-2m+3）

則點T關于原點對稱的點K坐標為（-m，m2+2m-3）

將點K代入解析式得

m2+2m-3=-m2+2m+3

∴m2=3

∴m=±

∴m=-

∴T（-，2）

（3）由拋物線y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4可知，對稱軸為直線x=-1，設點M的橫坐標為m，則PM=-m2-2m+3，MN=（-m-1）×2=-2m-2，

∴矩形PMNQ的周長=2（PM+MN）=2（-m2-2m+3-2m-2）=-2m2-8m+2=-2（m+2）2+10，

∴當m=-2時矩形的周長最大．

∵點A（-3，0），C（0，3），

∴直線AC的函數表達式為y=x+3，

當x=-2時，y=-2+3=1，則點E（-2，1），

∴EM=1，AM=1，

∴S=AMEM=．