Question

【題目】觀察發(fā)現(xiàn)：如圖（1），是的外接圓，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，且是等邊三角形．與交于點(diǎn)，以為圓心、為半徑的圓交于點(diǎn)，連接．

（1）_____；

（2）線段、有何大小關(guān)系？證明你的猜想．

拓展應(yīng)用：如圖（2），是等邊三角形，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)．點(diǎn)是的外接圓圓心，與相交于點(diǎn)．如果等邊三角形的邊長(zhǎng)為2,請(qǐng)直接寫出的最小值和此時(shí)的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）120°;（2）見解析；（3）拓展應(yīng)用：的最小值為，此時(shí).

【解析】

（1）根據(jù)△ABC是等邊三角形，可得∠ACB=60°，根據(jù)圓周角定理可得∠AOD的度數(shù).（2）根據(jù)內(nèi)角和定理和等邊三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，根據(jù)邊角邊對(duì)應(yīng)相等可得，則.

拓展應(yīng)用：以為圓心，以長(zhǎng)為半徑作圓，交于，連結(jié)，則．當(dāng)時(shí)最小，時(shí)，.

解：觀察發(fā)現(xiàn)：（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB=60°，

∴∠AOD=2∠ACB=120°

故答案為120°．

（2）結(jié)論：AE=CF．

理由如下：∵，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

拓展應(yīng)用：以為圓心，以長(zhǎng)為半徑作圓，交于，連結(jié)，則由以上結(jié)論可得：．

當(dāng)時(shí)最小，，

∵，，

∴

∴，

∴，

∴的最小值為，此時(shí)．