Question

【題目】在中，，，，點(diǎn)D在邊AB上，且，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，以PD為邊向上做正方形，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，正方形與重疊部分的面積為．

（1）用含有的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)．

（2）當(dāng)點(diǎn)落在的邊上時(shí)，求的值．

（3）求與的函數(shù)關(guān)系式．

（4）當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，做點(diǎn)N關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，當(dāng)與的某一個(gè)頂點(diǎn)的連線平分的面積時(shí)，求的值．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)0t3時(shí)PD=3-t，當(dāng)3＜t7時(shí)，PD=t-3；（2），；（3）；（4），，．

【解析】

（1）分0＜t≤3時(shí)，3＜t≤7時(shí)，兩種情形分別求解即可．

（2）分兩種情形①如圖2中，當(dāng)點(diǎn)N在AC上時(shí)，②如圖3中，當(dāng)點(diǎn)N在BC上時(shí)，利用平行線分線段成比例定理解決問(wèn)題即可．

（3）分三種情形：①如圖4中，當(dāng)0＜t≤時(shí)，重疊部分是五邊形EFPDM，②如圖5或6中．當(dāng)＜t≤5時(shí)，重疊部分是正方形PDMN．③如圖7中，當(dāng)5＜t≤7時(shí)，重疊部分是五邊形EFPDM，分別求解即可．

（4）分三種情形畫(huà)出圖形，利用平行線分線段成比例定理構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．

解：（1）如圖1中，作CD′⊥AB于D．

∵∠B＝45°，BC＝4，

∴CD′＝BD′＝4，

又∵CD′⊥AB，，

∴在Rt△ACD′中，

AD′＝，

∵AD＝3，

∴AD＝AD′，

∴D′與D重合，

當(dāng)0＜t≤3時(shí)，PD＝3﹣t．

當(dāng)3＜t≤7時(shí)，PD＝t﹣3．

（2）①如圖2中，當(dāng)點(diǎn)N在AC上時(shí)，

∵MN∥AD，

∴，

∴，

解得t＝．

②如圖3中，當(dāng)點(diǎn)N在BC上時(shí)，

∵MN∥BD，

∴，

∴，

解得t＝5

綜上所述，滿足條件的t的值為s或5s．

（3）①如圖4中，當(dāng)0＜t≤時(shí)，重疊部分是五邊形EFPDM，

s＝S正方形MDPN﹣S△NEF＝（3﹣t）2﹣

②如圖5或6中，當(dāng)＜t≤5時(shí)，重疊部分是正方形PDMN，s＝t2﹣6t+9

③如圖7中，當(dāng)5＜t≤7時(shí)，重疊部分是五邊形EFPDM，s＝S正方形MNPD﹣S△EFN＝（t﹣3）2﹣[（t﹣3）﹣（7﹣t）]2＝﹣t2+14t﹣41．

綜上所述，．

（4）如圖8中，當(dāng)點(diǎn)N′落在中線AE上時(shí)，作EK⊥BC于K，N′J⊥AB于J．

∵JN′∥EK，

∴，

則有，

解得t＝1．

如圖9中，當(dāng)點(diǎn)N′落在中線BG上時(shí)，作GK⊥BC于K，N′J⊥AB于J．

∵N′J∥GK，

∴，

∴，

解得t＝．

如圖10中，當(dāng)點(diǎn)N′落在中線CF上時(shí)，

∵MN′∥DF，

∴，

∴，

解得t＝．

綜上所述，滿足條件的t的值為1s或s或s．