【題目】如圖在直角坐標(biāo)平面內(nèi),拋物線y=ax2+bx﹣3與y軸交于點(diǎn)A,與x軸分別交于點(diǎn)B(﹣1,0)、點(diǎn)C(3,0),點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)聯(lián)結(jié)AD、DC,求△ACD的面積;

(3)點(diǎn)P在直線DC上,聯(lián)結(jié)OP,若以O(shè)、P、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,求點(diǎn)P的坐

標(biāo).

【答案】(1)y=(x﹣1)2﹣4,D的坐標(biāo)是(1,﹣4);(2)3;(3)P1,﹣)或P2(2,﹣2).

【解析】

(1)B、C的坐標(biāo)代入拋物線y=ax2+bx﹣3,即可求出表達(dá)式,將表達(dá)式寫成頂點(diǎn)式,即可直接寫出D點(diǎn)坐標(biāo).

(2)先求出△ACD三邊的長(zhǎng)度,利用勾股定理逆定理判定△ACD是直角三角形,從而求出面積.

(3)先說明BAC=BCD,BCD即為OPC中的OCP,接下來分情況討論另外有一對(duì)角相等時(shí)△OPC與△ABC.

解:(1)點(diǎn)B(﹣1,0)、C(3,0)在拋物線y=ax2+bx﹣3上,

,

解得:,

∴拋物線的表達(dá)式為:y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,

故頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是(1,﹣4);

(2)A(0,﹣3),C(3,0),D(1,﹣4),

AC=3,CD=2,AD=,

CD2=AC2+AD2

∴∠CAD=90°,

SACD=ACAD=×3×=3;

(3)∵∠CAD=AOB=90°,==

∴△CAD∽△AOB,

∴∠ACD=OAB,

OA=OC,AOC=90°,

∴∠OAC=OCA=45°,

∴∠OAC+∠OAB=OCA+∠ACD,即∠BAC=BCD,

若以O、P、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,且△ABC為銳角三角形,

則△POC也為銳角三角形,點(diǎn)P在第四象限,

由點(diǎn)C(3,0),D(1,﹣4)得直線CD的表達(dá)式是:y=2x﹣6,設(shè)P(t,2t﹣6)(0t3)

PPHOC,垂足為點(diǎn)H,則OH=t,PH=6﹣2t,

①當(dāng)∠POC=ABC時(shí),由tanPOC=tanABC=,

=3,

解得:t=,

P1,﹣);

②當(dāng)∠POC=ACB時(shí),由tanPOC=tanACB=tan45°=1,得=1,

=1,

解得:t=2,

P2(2,﹣2),

綜上得:P1,﹣)或P2(2,﹣2).

故答案為:(1)y=(x﹣1)2﹣4,D的坐標(biāo)是(1,﹣4);(2)3;(3)P1,﹣)或P2(2,﹣2).

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;

;

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