【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線yk≠0)與直線yax+ba≠0)交于AB兩點(diǎn),直線AB分別交x軸,y軸于C、D兩點(diǎn),若OAOC,A點(diǎn)坐標(biāo)為(43).

1)分別求出雙曲線與直線的函數(shù)表達(dá)式;

2)若P為雙曲線上一點(diǎn),且橫坐標(biāo)為2,H為直線AB上一點(diǎn),且PH+HC最小,延長(zhǎng)PHx軸于點(diǎn)E,將線段OE沿x軸平移得線段O'E',在平移過程中,是否存在某個(gè)位置使|BO'AE'|的值最大值,求出最大值并求出此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo).

3)在(2)的情況下,將直線OA沿線段CE平移,平移過程中交yx0)的圖象于MM與點(diǎn)A不重合)交x軸于點(diǎn)N,在平面內(nèi)找一點(diǎn)G,使M、NE,G為頂點(diǎn)的四邊形為矩形?直接寫出G的坐標(biāo).

【答案】1;(2)最大值為,點(diǎn)E20);(3G(﹣6,6

【解析】

1)由OAOC,A點(diǎn)坐標(biāo)為(4,3)可求出C點(diǎn)的坐標(biāo),再雙曲線與直線的函數(shù)表達(dá)式即可;

2)作PKx軸于K,交ACH,得到,求得HK=CH,可得E(2,0),再作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B',B'NOE,B'NOE,連接AN交x軸于E',截取E'O'=OE,則B'N∥E'O',B'N=E'O',得到|BO'AE'||E'N'AE'|AE'E'NAN,再求最大值即可;

(3)設(shè)平移后的解析式為y=x+b,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)P(2,6)時(shí),可得矩形MEGN,再求點(diǎn)G坐標(biāo)即可.

解:

1)∵OAOCA點(diǎn)坐標(biāo)為(4,3),

OC5,

C(﹣5,0),

將點(diǎn)A4,3)代入y可得k12,

y,

將點(diǎn)A4,3)和C(﹣50)代入yax+b,可得ab,

yx+;

2)由已知可得,P2,6),D0),作PKx軸于K,交ACH,

HKOD,

,

CD

,

,

HKCH,

PH+CHPH+HKPK,此時(shí)PH+HC為最小,

EK重合,

E2,0),

如圖1中,作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B',B'NOEB'NOE,連接ANx軸于E'

截取E'O'OE,則B'NE'O',B'NE'O',

∴四邊形B'O'E'N是平行四邊形,

NE'O'B'O'B,

|BO'AE'||E'N'AE'|AE'E'NAN,最大;

B(﹣9,﹣),

B'(﹣9,),

N(﹣7,),

AN,

|BO'AE'|的最大值為,點(diǎn)E20).

3)如圖3中,

∵直線OA的解析式為yx

∴平移后的解析式為yx+b,

當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)P26)時(shí),可得矩形MEGN,

6+b

b,

∴平移后的直線的解析式為yx+,

y0,可得x=﹣6,

G(﹣66).

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1)求證:△DPF為等腰直角三角形;

2)若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t秒.

當(dāng)t為何值時(shí),點(diǎn)E恰好為AC的一個(gè)三等分點(diǎn);

將△EFP沿PF翻折,得到△QFP,當(dāng)點(diǎn)Q恰好落在BC上時(shí),求t的值.

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(2)若該二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),求該函數(shù)表達(dá)式.

(3)已知二次函數(shù)的圖像過(,)()兩點(diǎn),且當(dāng)時(shí),始終都有,求a的取值范圍.

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