【題目】如圖,已知線(xiàn)段AB=2,MN⊥AB于點(diǎn)M,且AM=BM,P是射線(xiàn)MN上一動(dòng)點(diǎn),E,D分別是PA,PB的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A,M,D的圓與BP的另一交點(diǎn)C(點(diǎn)C在線(xiàn)段BD上),連結(jié)AC,DE.

(1)當(dāng)∠APB=28°時(shí),求∠B和 的度數(shù);
(2)求證:AC=AB.
(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中
①當(dāng)MP=4時(shí),取四邊形ACDE一邊的兩端點(diǎn)和線(xiàn)段MP上一點(diǎn)Q,若以這三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形,且Q為銳角頂點(diǎn),求所有滿(mǎn)足條件的MQ的值;
②記AP與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為F,將點(diǎn)F繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)G恰好落在MN上時(shí),連結(jié)AG,CG,DG,EG,直接寫(xiě)出△ACG和△DEG的面積之比.

【答案】
(1)

解:∵M(jìn)N⊥AB,AM=BM,

∴PA=PB,

∴∠PAB=∠B,

∵∠APB=28°,

∴∠B=76°,

如圖1,連接MD,

∵M(jìn)D為△PAB的中位線(xiàn),

∴MD∥AP,

∴∠MDB=∠APB=28°,

=2∠MDB=56°;


(2)

證明:∵∠BAC=∠MDC=∠APB,

又∵∠BAP=180°﹣∠APB﹣∠B,∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B,

∴∠BAP=∠ACB,

∵∠BAP=∠B,

∴∠ACB=∠B,

∴AC=AB;


(3)

解:①如圖2,記MP與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為R,

∵M(jìn)D是Rt△MBP的中線(xiàn),

∴DM=DP,

∴∠DPM=∠DMP=∠RCD,

∴RC=RP,

∵∠ACR=∠AMR=90°,

∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2,

∴12+MR2=22+PR2,

∴12+(4﹣PR)2=22+PR2

∴PR= ,

∴MR=

Ⅰ.當(dāng)∠ACQ=90°時(shí),AQ為圓的直徑,

∴Q與R重合,

∴MQ=MR=

Ⅱ.如圖3,當(dāng)∠QCD=90°時(shí),

在Rt△QCP中,PQ=2PR= ,

∴MQ=

Ⅲ.如圖4,當(dāng)∠QDC=90°時(shí),

∵BM=1,MP=4,

∴BP=

∴DP= BP= ,

∵cos∠MPB= = ,

∴PQ= ,

∴MQ= ;

Ⅳ.如圖5,當(dāng)∠AEQ=90°時(shí),

由對(duì)稱(chēng)性可得∠AEQ=∠BDQ=90°,

∴MQ=

綜上所述,MQ的值為 ;

②△ACG和△DEG的面積之比為

理由:如圖6,∵DM∥AF,

∴DF=AM=DE=1,

又由對(duì)稱(chēng)性可得GE=GD,

∴△DEG是等邊三角形,

∴∠EDF=90°﹣60°=30°,

∴∠DEF=75°=∠MDE,

∴∠GDM=75°﹣60°=15°,

∴∠GMD=∠PGD﹣∠GDM=15°,

∴GMD=∠GDM,

∴GM=GD=1,

過(guò)C作CH⊥AB于H,

由∠BAC=30°可得CH= AC= AB=1=MG,AH= ,

∴CG=MH= ﹣1,

∴SACG= CG×CH= ,

∵SDEG= ,

∴SACG:SDEG=


【解析】(1)根據(jù)三角形ABP是等腰三角形,可得∠B的度數(shù),再連接MD,根據(jù)MD為△PAB的中位線(xiàn),可得∠MDB=∠APB=28°,進(jìn)而得到 =2∠MDB=56°;(2)根據(jù)∠BAP=∠ACB,∠BAP=∠B,即可得到∠ACB=∠B,進(jìn)而得出AC=AB;(3)①記MP與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為R,根據(jù)AM2+MR2=AR2=AC2+CR2 , 即可得到PR= ,MR= ,再根據(jù)Q為直角三角形銳角頂點(diǎn),分四種情況進(jìn)行討論:當(dāng)∠ACQ=90°時(shí),當(dāng)∠QCD=90°時(shí),當(dāng)∠QDC=90°時(shí),當(dāng)∠AEQ=90°時(shí),即可求得MQ的值為 ;②先判定△DEG是等邊三角形,再根據(jù)GMD=∠GDM,得到GM=GD=1,過(guò)C作CH⊥AB于H,由∠BAC=30°可得CH= AC=1=MG,即可得到CG=MH= ﹣1,進(jìn)而得出SACG= CG×CH= ,再根據(jù)SDEG= ,即可得到△ACG和△DEG的面積之比.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)y= x2 x﹣ 與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D,點(diǎn)E(4,n)在拋物線(xiàn)上.

(1)求直線(xiàn)AE的解析式;
(2)點(diǎn)P為直線(xiàn)CE下方拋物線(xiàn)上的一點(diǎn),連接PC,PE.當(dāng)△PCE的面積最大時(shí),連接CD,CB,點(diǎn)K是線(xiàn)段CB的中點(diǎn),點(diǎn)M是CP上的一點(diǎn),點(diǎn)N是CD上的一點(diǎn),求KM+MN+NK的最小值;
(3)點(diǎn)G是線(xiàn)段CE的中點(diǎn),將拋物線(xiàn)y= x2 x﹣ 沿x軸正方向平移得到新拋物線(xiàn)y′,y′經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,y′的頂點(diǎn)為點(diǎn)F.在新拋物線(xiàn)y′的對(duì)稱(chēng)軸上,是否存在一點(diǎn)Q,使得△FGQ為等腰三角形?若存在,直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】矩形ABCD的兩條對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1).一張透明紙上畫(huà)有一個(gè)點(diǎn)和一條拋物線(xiàn),平移透明紙,這個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)A重合,此時(shí)拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y=x2 , 再次平移透明紙,使這個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)C重合,則該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式變?yōu)椋?)
A.y=x2+8x+14
B.y=x2-8x+14
C.y=x2+4x+3
D.y=x2-4x+3

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】我國(guó)現(xiàn)行的二代身份證號(hào)碼是18位數(shù)字,由前17數(shù)字本體碼和最后1校驗(yàn)碼組成.校驗(yàn)碼通過(guò)前17位數(shù)字根據(jù)一定規(guī)則計(jì)算得出,如果校驗(yàn)碼不符合這個(gè)規(guī)則,那么該號(hào)碼肯定是假號(hào)碼.現(xiàn)將前17數(shù)字本體碼記為,其中表示第位置上的身份證號(hào)碼數(shù)字值,按下表中的規(guī)定分別給出每個(gè)位置上的一個(gè)對(duì)應(yīng)的值.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

7

9

10

5

8

4

2

1

6

3

7

9

10

5

8

4

2

4

4

0

5

2

4

1

9

8

0

0

1

0

1

0

0

1

現(xiàn)以號(hào)碼為例,先將該號(hào)碼的前17數(shù)字本體碼填入表中(現(xiàn)已填好),依照以下操作步驟計(jì)算相應(yīng)的校驗(yàn)碼進(jìn)行校驗(yàn):

1)對(duì)前17數(shù)字本體碼,按下列方式求和,并將和記為

.

現(xiàn)經(jīng)計(jì)算,已得出,繼續(xù)求得____;

2)計(jì)算,所得的余數(shù)記為,那么____

3)查閱下表得到對(duì)應(yīng)的校驗(yàn)碼(其中為羅馬數(shù)字,用來(lái)代替10):

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

校驗(yàn)碼

1

0

9

8

7

6

5

4

3

2

所得到的校驗(yàn)碼為____,與號(hào)碼中的最后一位進(jìn)行對(duì)比,由此判斷號(hào)碼____(填)身份證號(hào).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接BE,作點(diǎn)A關(guān)于BE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F,且點(diǎn)F落在矩形ABCD的內(nèi)部,連結(jié)AF,BF,EF,過(guò)點(diǎn)F作GF⊥AF交AD于點(diǎn)G,設(shè) =n.

(1)求證:AE=GE;
(2)當(dāng)點(diǎn)F落在A(yíng)C上時(shí),用含n的代數(shù)式表示 的值;
(3)若AD=4AB,且以點(diǎn)F,C,G為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形,求n的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖1,已知ABCD,AB//x軸,AB=6,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,-4),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-3,4),點(diǎn)B在第四象限,點(diǎn)P是ABCD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)若點(diǎn)P在邊BC上,PD=CD,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
(2)若點(diǎn)P在邊AB,AD上,點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)Q落在直線(xiàn)y=x-1上,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)若點(diǎn)P在邊AB,AD,CD上,點(diǎn)G是AD與y軸的交點(diǎn),如圖2,過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線(xiàn)PM,過(guò)點(diǎn)G作x軸的平行線(xiàn)GM,它們相交于點(diǎn)M,將△PGM沿直線(xiàn)PG翻折,當(dāng)點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫(xiě)出答案).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖顯示了用計(jì)算機(jī)模擬隨機(jī)投擲一枚圖釘?shù)哪炒螌?shí)驗(yàn)的結(jié)果.
下面有三個(gè)推斷:
①當(dāng)投擲次數(shù)是500時(shí),計(jì)算機(jī)記錄“釘尖向上”的次數(shù)是308,所以“釘尖向上”的概率是0.616;
②隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加,“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動(dòng),顯示出一定的穩(wěn)定性,可以估計(jì)“釘尖向上”的概率是0.618;
③若再次用計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn),則當(dāng)投擲次數(shù)為1000時(shí),“釘尖向上”的概率一定是0.620.
其中合理的是(
A.①
B.②
C.①②
D.①③

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,點(diǎn)O是直線(xiàn)AB上任一點(diǎn),射線(xiàn)OD和射線(xiàn)OE分別平分∠AOC和∠BOC.

(1)填空:與∠AOE互補(bǔ)的角有   ;

(2)若∠COD=30°,求∠DOE的度數(shù);

(3)當(dāng)∠AOD=α°時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出∠DOE的度數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知一次函數(shù)ykx+b的圖象如圖所示,

(1)求出這個(gè)函數(shù)關(guān)系式.

(2)圖象上有一點(diǎn)P(4,m),求m的值.

(3)判斷點(diǎn)(﹣4,3)和 (6,﹣6)是否在此直線(xiàn)上.

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同步練習(xí)冊(cè)答案