【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y= x2 x﹣ 與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,對稱軸與x軸交于點D,點E(4,n)在拋物線上.

(1)求直線AE的解析式;
(2)點P為直線CE下方拋物線上的一點,連接PC,PE.當(dāng)△PCE的面積最大時,連接CD,CB,點K是線段CB的中點,點M是CP上的一點,點N是CD上的一點,求KM+MN+NK的最小值;
(3)點G是線段CE的中點,將拋物線y= x2 x﹣ 沿x軸正方向平移得到新拋物線y′,y′經(jīng)過點D,y′的頂點為點F.在新拋物線y′的對稱軸上,是否存在一點Q,使得△FGQ為等腰三角形?若存在,直接寫出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:∵y= x2 x﹣ ,

∴y= (x+1)(x﹣3).

∴A(﹣1,0),B(3,0).

當(dāng)x=4時,y=

∴E(4, ).

設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b,將點A和點E的坐標(biāo)代入得:

解得:k= ,b=

∴直線AE的解析式為y= x+


(2)

解:設(shè)直線CE的解析式為y=mx﹣ ,將點E的坐標(biāo)代入得:4m﹣ = ,解得:m=

∴直線CE的解析式為y= x﹣

過點P作PF∥y軸,交CE與點F.

設(shè)點P的坐標(biāo)為(x, x2 x﹣ ),則點F(x, x﹣ ),

則FP=( x﹣ )﹣( x2 x﹣ )= x2+ x.

∴△EPC的面積= ×( x2+ x)×4=﹣ x2+ x.

∴當(dāng)x=2時,△EPC的面積最大.

∴P(2,﹣ ).

如圖2所示:作點K關(guān)于CD和CP的對稱點G、H,連接G、H交CD和CP與N、M.

∵K是CB的中點,

∴k( ,﹣ ).

∵點H與點K關(guān)于CP對稱,

∴點H的坐標(biāo)為( ,﹣ ).

∵點G與點K關(guān)于CD對稱,

∴點G(0,0).

∴KM+MN+NK=MH+MN+GN.

當(dāng)點O、N、M、H在條直線上時,KM+MN+NK有最小值,最小值=GH.

∴GH= =3.

∴KM+MN+NK的最小值為3.


(3)

解:如圖3所示:

∵y′經(jīng)過點D,y′的頂點為點F,

∴點F(3,﹣ ).

∵點G為CE的中點,

∴G(2, ).

∴FG= =

∴當(dāng)FG=FQ時,點Q(3, ),Q′(3, ).

當(dāng)GF=GQ時,點F與點Q″關(guān)于y= 對稱,

∴點Q″(3,2 ).

當(dāng)QG=QF時,設(shè)點Q1的坐標(biāo)為(3,a).

由兩點間的距離公式可知:a+ = ,解得:a=﹣

∴點Q1的坐標(biāo)為(3,﹣ ).

綜上所述,點Q的坐標(biāo)為(3, )或′(3, )或(3,2 )或(3,﹣ ).


【解析】(1)拋物線的解析式可變形為y= (x+1)(x﹣3),從而可得到點A和點B的坐標(biāo),然后再求得點E的坐標(biāo),設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b,將點A和點E的坐標(biāo)代入求得k和b的值,從而得到AE的解析式;(2)設(shè)直線CE的解析式為y=mx﹣ ,將點E的坐標(biāo)代入求得m的值,從而得到直線CE的解析式,過點P作PF∥y軸,交CE與點F.設(shè)點P的坐標(biāo)為(x, x2 x﹣ ),則點F(x, x﹣ ),則FP= x2+ x.由三角形的面積公式得到△EPC的面積=﹣ x2+ x,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得x的值,從而得到點P的坐標(biāo),作點K關(guān)于CD和CP的對稱點G、H,連接G、H交CD和CP與N、M.然后利用軸對稱的性質(zhì)可得到點G和點H的坐標(biāo),當(dāng)點O、N、M、H在條直線上時,KM+MN+NK有最小值,最小值=GH;(3)由平移后的拋物線經(jīng)過點D,可得到點F的坐標(biāo),利用中點坐標(biāo)公式可求得點G的坐標(biāo),然后分為QG=FG、QG=QF,F(xiàn)Q=FQ三種情況求解即可.
【考點精析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。

練習(xí)冊系列答案
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【題目】從2開始,連續(xù)的偶數(shù)相加,它們和的情況如表:

加數(shù)的個數(shù)n

S

1

2=1×2

2

2+4=6=2×3

3

2+4+6=15=3×4

4

2+4+6+8=20=4×5

5

2+4+6+8+10=30=5×6


(1)根據(jù)表中的規(guī)律猜想:用n的式子表示S的公式為:S=2+4+6+8+…+2n=;
(2)如下數(shù)表是由從1開始的連續(xù)自然數(shù)組成,觀察規(guī)律:

①第n行的第一個數(shù)可用含n的式子表示為;

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(1)若直線a1a2a2a3,則直線a1a3的位置關(guān)系是__________,請說明理由.

(2)若直線a1a2,a2a3,a3a4,則直線a1a4的位置關(guān)系是________(直接填結(jié)論,不需要證明)

(3)現(xiàn)在有2 011條直線a1,a2a3,a2 011,且有a1a2,a2a3,a3a4,a4a5,請你探索直線a1a2 011的位置關(guān)系.

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(1)求小亮從乙地到甲地過程中(m)(min)之間的函數(shù)表達(dá)式;

(2)求小亮從甲地返回到與小明相遇的過程中(m)( min)之間的函數(shù)表達(dá)式;

(3)在圖②中,補(bǔ)全整個過程中(m)(min)之間的函數(shù)圖象,并確定的值.

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分組

頻數(shù)

百分比

600800

2

5

8001000

6

15

10001200

45

9

22.5

16001800

2

合計

40

100

根據(jù)以上提供的信息,解答下列問題:

1)補(bǔ)全頻數(shù)分布表.

2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖.

3)繪制相應(yīng)的頻數(shù)分布折線圖.

4)請你估計該居民小區(qū)家庭屬于中等收入(大于1000不足1600元)的大約有多少戶?

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(1)當(dāng)∠APB=28°時,求∠B和 的度數(shù);
(2)求證:AC=AB.
(3)在點P的運(yùn)動過程中
①當(dāng)MP=4時,取四邊形ACDE一邊的兩端點和線段MP上一點Q,若以這三點為頂點的三角形是直角三角形,且Q為銳角頂點,求所有滿足條件的MQ的值;
②記AP與圓的另一個交點為F,將點F繞點D旋轉(zhuǎn)90°得到點G,當(dāng)點G恰好落在MN上時,連結(jié)AG,CG,DG,EG,直接寫出△ACG和△DEG的面積之比.

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