【題目】如圖1,已知ABCD,AB//x軸,AB=6,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,-4),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-3,4),點(diǎn)B在第四象限,點(diǎn)P是ABCD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)若點(diǎn)P在邊BC上,PD=CD,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
(2)若點(diǎn)P在邊AB,AD上,點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)Q落在直線y=x-1上,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)若點(diǎn)P在邊AB,AD,CD上,點(diǎn)G是AD與y軸的交點(diǎn),如圖2,過點(diǎn)P作y軸的平行線PM,過點(diǎn)G作x軸的平行線GM,它們相交于點(diǎn)M,將△PGM沿直線PG翻折,當(dāng)點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫出答案).

【答案】
(1)

解:在ABCD中, CD=AB=6,

所以點(diǎn)P與點(diǎn)C重合,

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,4).


(2)

解:①當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上時(shí),

由已知得,直線AD的函數(shù)表達(dá)式為y=-2x-2,

設(shè)P(a,-2a-2),且-3≤a≤1,

若點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)Q1(a,2a+2)在直線y=x-1上,

所以2a+2=a-1,解得a=-3,此時(shí)P(-3,4)。

若點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)Q2(-a,-2a-2)在直線y=x-1上,

所以-2a-2=-a-1,解得a=-1,此時(shí)P(-1,0).

②當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí),設(shè)P(a,-4),且1≤a≤7,

若點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)Q3(a,4)在直線y=x-1上,

所以4=a-1,解得a=5,此時(shí)P(5,-4).

若點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)Q4(-a,-4)在直線y=x-1上,

所以-4=-a-1,解得a=3,此時(shí)P(3,-4).

綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-3,4)或(-1,0)或(5,-4)或(3,-4).


(3)

解:因?yàn)橹本AD為y=-2x-2,所以G(0,-2).

①如圖,當(dāng)點(diǎn)P在CD邊上時(shí),可設(shè)P(m,4),且-3≤m≤3,

則可得M′P=PM=4+2=6,M′G=GM=|m|,

易證得△OGM′~△HM′P,

,

,

則OM′= ,

在Rt△OGM′中,

由勾股定理得, ,

解得m=

則P( ,4)或( ,4);

②如下圖,當(dāng)點(diǎn)P在AD邊上時(shí),設(shè)P(m,-2m-2),

則PM′=PM=|-2m|,GM′=MG=|m|,

易證得△OGM′~△HM′P,

,

,

則OM′=

在Rt△OGM′中,

由勾股定理得, ,

整理得m= ,

則P( ,3);

如下圖,當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上時(shí),設(shè)P(m,-4),

此時(shí)M′在y軸上,則四邊形PM′GM是正方形,

所以GM=PM=4-2=2,

則P(2,-4).

綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-4)或( ,3)或( ,4)或( ,4).


【解析】(1)點(diǎn)P在BC上,要使PD=CD,只有P與C重合;(2)首先要分點(diǎn)P在邊AB,AD上時(shí)討論,根據(jù)“點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)Q”,即還要細(xì)分“點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q和點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q”討論,根據(jù)關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱點(diǎn)的特征(關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí),點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變成相反數(shù);關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí),相反;)將得到的點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入直線y=x-1,即可解答;(3)在不同邊上,根據(jù)圖象,點(diǎn)M翻折后,點(diǎn)M’落在x軸還是y軸,可運(yùn)用相似求解.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平行四邊形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí),掌握平行四邊形的對(duì)邊相等且平行;平行四邊形的對(duì)角相等,鄰角互補(bǔ);平行四邊形的對(duì)角線互相平分,以及對(duì)翻折變換(折疊問題)的理解,了解折疊是一種對(duì)稱變換,它屬于軸對(duì)稱,對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線,折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對(duì)應(yīng)邊和角相等.

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∵∠1=∠3(   )

∴∠1=(   )(   )

DE∥(   )(   )

∴∠EDB+∠DBC=180°(   )

∴∠EDB=180°﹣∠DBC(等式性質(zhì))

∵∠DBC=(   )(已知)

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