【題目】如圖:AD與⊙O相切于點D,AF經(jīng)過圓心與圓交于點E、F,連接DE、DF,且EF=6,AD=4.
(1)證明:AD2=AEAF;
(2)延長AD到點B,使DB=AD,直徑EF上有一動點C,連接CB交DF于點G,連接EG,設∠ACB=α,BG=x,EG=y. ①當α=900時,探索EG與BD的大小關系?并說明理由;
②當α=1200時,求y與x的關系式,并用x的代數(shù)式表示y.
【答案】
(1)證明:連接OD
∵AD是⊙O的切線,
∴OD⊥AD,即∠ADE+∠EDO=90°,
∵EF是直徑,
∴∠EDF=90°,即∠EDO+∠ODF=90°,
∴∠ADE=∠ODF,
∵OD=OF,
∴∠ODF=∠OFD,
∴∠ADE=∠OFD,
∴△ADE∽△AFD,
∴ ,
即AD2=AEAF;
(2)解:①當α=90°時,EG>BD
理由如下:如圖2,取EG的中點H,連接CH、DH、CD,
∵Rt△EDG、Rt△ECG,點H為EG的中點,
∴CH=EH=GH=DH= EG,
∴點C、E、D、G在以點H為圓心,EG為直徑的圓上,
∴EG>CD,
∵Rt△ABC,DB=AD,
∴CD=DB=AD= AB,
∴EG>BD;
②當α=120°時,
如圖3,將△ADE繞著點D旋轉(zhuǎn)180°,得到△BDP,連接GP,過點P作PQ⊥BG,
由(1)AD2=AEAF得:16=AE(AE+6),
解得:AE=2或AE=﹣8(舍去),
∵△ADE≌△BDP
∴ED=DP,AE=BP=2,∠A=∠DBP,
∵∠EDF=90°,
∴DG垂直平分EP,
∴GE=GP=y,
∵∠A+∠ABC=180°﹣120°=60°,
∴∠DBP+∠ABC=60°,即∠GBP=60°,
在Rt△BPQ中,∠GBP=60°,BP=2,
∴BQ=1,PQ= ,
∴GQ=BG﹣BQ=x﹣1,
在Rt△GPQ中,PQ= ,GQ=x﹣1,GP=y,
∴PG2=GQ2+PQ2
即y2=(x﹣1)2+( )2,
故y= .
【解析】(1)直接利用切線的性質(zhì)得出∠ADE+∠EDO=90°,再利用圓周角定理得出∠ADE=∠ODF,結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案;(2)①利用直角三角形的性質(zhì)得出點C、E、D、G在以點H為圓心,EG為直徑的圓上,進而得出EG與BD的大小關系;②首先得出BQ=1,PQ= ,GQ=BG﹣BQ=x﹣1,進而利用勾股定理求出答案.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩車從A地出發(fā),沿同一路線駛向B地. 甲車先出發(fā)勻速駛向B地,40 min后,乙車出發(fā),勻速行駛一段時間后,在途中的貨站裝貨耗時半小時. 由于滿載貨物,為了行駛安全,速度減少了50 km/h,結(jié)果與甲車同時到達B地. 甲乙兩車距A地的路程y(km)與乙車行駛時間x(h)之間的函數(shù)圖象如圖所示,則下列說法:①a=4.5;②甲的速度是60 km/h;③乙出發(fā)80 min追上甲;④乙剛到達貨站時,甲距B地180 km.其中正確的有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2017年3月全國兩會勝利召開,某學校就兩會期間出現(xiàn)頻率最高的熱詞:A.藍天保衛(wèi)戰(zhàn),B.不動產(chǎn)保護,C.經(jīng)濟增速,D.簡政放權等進行了抽樣調(diào)查,每個同學只能從中選擇一個“我最關注”的熱詞,如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請你根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息,解答下列問題:
(1)本次調(diào)查中,一共調(diào)查了名同學;
(2)條形統(tǒng)計圖中,m= , n=;
(3)從該校學生中隨機抽取一個最關注熱詞D的學生的概率是多少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】問題情境:如圖①,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點D,可知:∠BAD=∠C(不需要證明);
特例探究:如圖②,∠MAN=90°,射線AE在這個角的內(nèi)部,點B、C在∠MAN的邊AM、AN上,且AB=AC, CF⊥AE于點F,BD⊥AE于點D.證明:△ABD≌△CAF;
歸納證明:如圖③,點BC在∠MAN的邊AM、AN上,點EF在∠MAN內(nèi)部的射線AD上,∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC, ∠1=∠2=∠BAC.求證:△ABE≌△CAF;
拓展應用:如圖④,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.點D在邊BC上,CD=2BD,點E、F在線段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面積為15,則△ACF與△BDE的面積之和為 .(12分)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法,但有更多的多項式只用上述方法就無法分解,如,我們細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn),前兩項符合平方差公式,后兩項可提取公因式,前后兩部分分別分解因式后會產(chǎn)生公因式,然后提取公因式就可以完成整個式子的分解因式了。過程為:
==
這種分解因式的方法叫分組分解法。利用這種方法解決下列問題:
(1)分解因式: ①;②2x﹣2y﹣x2+y2
(2)三邊a,b,c 滿足,判斷的形狀.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=﹣1,與x軸的一個交點A在點(﹣3,0)和(﹣2,0)之間,其部分圖象如圖所示,則下列4個結(jié)論::①b2﹣4ac<0;②2a﹣b=0;③a+b+c<0;④點M(x1 , y1)、N(x2 , y2)在拋物線上,若x1<x2 , 則y1≤y2 , 其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙三人之間相互傳球,球從一個人手中隨機傳到另外一個人手中,共傳球三次.
(1)若開始時球在甲手中,求經(jīng)過三次傳球后,球傳回到甲手中的概率是多少?
(2)若丙想使球經(jīng)過三次傳遞后,球落在自己手中的概率最大,丙會讓球開始時在誰手中?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:在△ABC中,AD是BC邊上的中線,點E是AD的中點;過點A作AF∥BC,交BE的延長線于F,連接CF.
(1)求證:四邊形ADCF是平行四邊形;
(2)填空: ①當AB=AC時,四邊形ADCF是形;
②當∠BAC=90°時,四邊形ADCF是形.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小金魚在直角坐標系中的位置如圖所示,根據(jù)圖形解答下面的問題:
(1)分別寫出小金魚身上點A,B,C,D,E,F(xiàn)的坐標;
(2)小金魚身上的點的縱坐標都乘以-1,橫坐標不變,作出相應圖形,它與原圖案相比有哪些變化?
(3)小金魚身上的點的橫坐標都乘-1,所得圖形與原圖形相比有哪些變化?
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