Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+4的圖象經(jīng)過(guò)A（﹣3，0），B（5，4），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；
（2）線段AB在第一象限內(nèi)的部分上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)Q，是否存在點(diǎn)P使四邊形BPCQ的面積最大？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及面積的最大值；如果不存在，說(shuō)明理由；
（3）x軸正半軸上有一點(diǎn)D（1，0），線段AC上是否存在點(diǎn)M，使△AOM∽△ADC？如果存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根據(jù)題意得 ，解得a=﹣ ，b= ，

所以拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+4

（2）

解：存在．

如圖，設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，

把A（﹣3，0），B（5，4）代入得 ，解得 ，

∴直線AB的解析式為y= x+ ，

當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣ x2+ x+4=4，則C（0，4），

而B(niǎo)（5，4），

∴BC⊥y軸，

∵QP∥y軸，

∴BC⊥PQ，

設(shè)P（t， t+ ）（0＜t＜5），則Q（t，﹣ t2+ t+4），

∴QP=﹣ t2+ t+4﹣ t﹣ t=﹣ t2+ t+ ，

∴S四邊形BPCQ=S△CPQ+S△BPQ= PQBC= 5（﹣ t2+ t+ ）

=﹣ t2+ t+

=﹣ （t﹣1）2+ ，

當(dāng)t=1時(shí)，S四邊形BPCQ有最大值，最大值為 ，

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）

（3）

解：存在．

直線AC的解析式為y= x+4，直線CD的解析式為y=﹣4x+4，

∵△AOM∽△ADC，

∴∠AOM=∠ADC，

∴OM∥CD，

∴直線OM的解析式為y=﹣4x，

解方程組 得 ，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣ ，3）．

【解析】（1）把A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax2+bx+4得到關(guān)于a和b的方程組，然后解方程組求出a和b即可得到拋物線解析式；（2）如圖，先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y= x+ ，則求出C點(diǎn)坐標(biāo)，從而可判斷BC⊥PQ，設(shè)P（t， t+ ）（0＜t＜5），則Q（t，﹣ t2+ t+4），再用t表示出QP，然后根據(jù)三角形面積公式，利用S四邊形BPCQ=S△CPQ+S△BPQ得到S四邊形BPCQ=﹣ t2+ t+ ，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解；（3）先利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y= x+4，直線CD的解析式為y=﹣4x+4，則根據(jù)相似的性質(zhì)得到∠AOM=∠ADC，于是可判斷OM∥CD，易得直線OM的解析式為y=﹣4x，然后通過(guò)解方程組 可得M點(diǎn)的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減�。粚�(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．