【題目】已知∠MON=120°,點A,B分別在ON,OM邊上,且OA=OB,點C在線段OB上(不與點O,B重合),連接CA.將射線CA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到射線CA′,將射線BO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)150°與射線CA′交于點D.
(1)根據(jù)題意補全圖1;
(2)求證:
①∠OAC=∠DCB;
②CD=CA(提示:可以在OA上截取OE=OC,連接CE);
(3)點H在線段AO的延長線上,當線段OH,OC,OA滿足什么等量關(guān)系時,對于任意的點C都有∠DCH=2∠DAH,寫出你的猜想并證明.
【答案】(1)見解析;(2)①見解析;②見解析;(3)猜想OH﹣OC=OA時,對于任意的點C都有∠DCH=2∠DAH;理由見解析
【解析】
(1)根據(jù)題意即可補全圖形;
(2)①由旋轉(zhuǎn)得∠ACD=120°,由三角形內(nèi)角和得出∠DCB+∠ACO=60°,∠OAC+∠ACO=60°,即可得出結(jié)論;
②在OA上截取OE=OC,連接CE,則∠OEC=∠OCE=(180°﹣∠MON)=30°,∠AEC=150°,得出∠AEC=∠CBD,易證AE=BC,由ASA證得△AEC≌△CBD,即可得出結(jié)論;
(3)猜想OH﹣OC=OA時,對于任意的點C都有∠DCH=2∠DAH,在OH上截取OF=OC,連接CF、CH,則FH=OA,∠COF=180°﹣∠MON=60°,得出△OFC 是等邊三角形,則CF=OC,∠CFH=∠COA=120°,由SAS證得△CFH≌△COA,得出∠H=∠OAC,由三角形外角性質(zhì)得出∠BCH=∠COF+∠H=60°+∠H=60°+∠OAC,則∠DCH=60°+∠H+∠DCB=60°+2∠OAC,由CA=CD,∠ACD=120°,得出∠CAD=30°,即可得出∠DCH=2∠DAH.
解:(1)根據(jù)題意補全圖形,如圖1所示:
(2)證明:①由旋轉(zhuǎn)得:∠ACD=120°,
∴∠DCB+∠ACO=180°﹣120°=60°,
∵∠MON=120°,
∴∠OAC+∠ACO=180°﹣120°=60°,
∴∠OAC=∠DCB;
②在OA上截取OE=OC,連接CE,如圖2所示:
則∠OEC=∠OCE=(180°﹣∠MON)=(180°﹣120°)=30°,
∴∠AEC=180°﹣∠OEC=180°﹣30°=150°,
由旋轉(zhuǎn)得:∠CBD=150°,
∴∠AEC=∠CBD,
∵OA=OB,OE=OC,
∴AE=BC,在△AEC和△CBD中,
,
∴△AEC≌△CBD(ASA),
∴CD=CA;
(3)解:猜想OH﹣OC=OA時,對于任意的點C都有∠DCH=2∠DAH;理由如下:
在OH上截取OF=OC,連接CF、CH,如圖3所示:
則FH=OA,∠COF=180°﹣∠MON=180°﹣120°=60°,
∴△OFC 是等邊三角形,
∴CF=OC,∠CFH=∠COA=120°,
在△CFH和△COA中,
,
∴△CFH≌△COA(SAS),
∴∠H=∠OAC,
∴∠BCH=∠COF+∠H=60°+∠H=60°+∠OAC,
∴∠DCH=60°+∠H+∠DCB=60°+2∠OAC,
∵CA=CD,∠ACD=120°,
∴∠CAD=30°,
∴∠DCH=2(∠CAD+∠OAC)=2∠DAH.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△AOB與△A1OB1是以點O為位似中心的位似圖形,且相似比為1:2,點B的坐標為(-1,2),則點B1的坐標為( )
A.(2,-4)B.(1,-4)C.(-1,4)D.(-4,2)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】1637年笛卡兒(R.Descartes,1596-1650)在其《幾何學(xué)》中,首次應(yīng)用待定系數(shù)法最早給出因式分解定理.關(guān)于笛卡爾的“待定系數(shù)法”原理,舉例說明如下:
分解因式:.觀察知,顯然時,原式,因此原式可分解為與另一個整式的積.令:,而,因等式兩邊同次冪的系數(shù)相等,則有:,得,從而
根據(jù)以上材料,理解并運用材料提供的方法,解答以下問題:
(1)若是多項式的因式,求的值并將多項式分解因式.
(2)若多項式含有因式及,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司生產(chǎn)的一種商品其售價是成本的1.5倍,當售價降低5元時商品的利潤率為25%.若不進行任何推廣年銷售量為1萬件.為了獲得更好的利益,公司準備拿出一定的資金做推廣,根據(jù)經(jīng)驗,每年投入的推廣費x萬元時銷售量y(萬件)是x的二次函數(shù):當x為1萬元時,y是1.5(萬件).當x為2萬元時,y是1.8(萬件).
(1)求該商品每件的的成本與售價分別是多少元?
(2)求出年利潤與年推廣費x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)如果投入的年推廣告費為1萬到3萬元(包括1萬和3萬元),問推廣費在什么范同內(nèi),公司獲得的年利潤隨推廣費的增大而增大?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了調(diào)查學(xué)生對垃圾分類及投放知識的了解情況,從甲、乙兩校各隨機抽取40名學(xué)生進行了相關(guān)知識測試,獲得了他們的成績(百分制),并對數(shù)據(jù)(成績)進行了整理、描述和分析.下面給出了部分信息.
a.甲、乙兩校40名學(xué)生成績的頻數(shù)分布統(tǒng)計表如下:
成績x 學(xué)校 | |||||
甲 | 4 | 11 | 13 | 10 | 2 |
乙 | 6 | 3 | 15 | 14 | 2 |
(說明:成績80分及以上為優(yōu)秀,70~79分為良好,60~69分為合格,60分以下為不合格)
b.甲校成績在這一組的是:
70 70 70 71 72 73 73 73 74 75 76 77 78
c.甲、乙兩校成績的平均分、中位數(shù)、眾數(shù)如下:
學(xué)校 | 平均分 | 中位數(shù) | 眾數(shù) |
甲 | 74.2 | n | 5 |
乙 | 73.5 | 76 | 84 |
根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)寫出表中n的值;
(2)在此次測試中,某學(xué)生的成績是74分,在他所屬學(xué)校排在前20名,由表中數(shù)據(jù)可知該學(xué)生是_____________校的學(xué)生(填“甲”或“乙”),理由是__________;
(3)假設(shè)乙校800名學(xué)生都參加此次測試,估計成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,AB=2,點E是CD的中點,連接AE,將△ADE沿AE折疊至△AHE,連接BH,延長AE,BH交于點F;BF,CD交于點G,則FG=_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于二、四象限內(nèi)的A、B兩點,與x軸交于C點,點A的坐標為(﹣2,3),點B的坐標為(4,n).
(1)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)在x軸上是否存在點P,使△APC是直角三角形?若存,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把個只有顏色不同的小球分別裝入甲乙丙三個布袋里其中甲布袋里有個紅球,個白球;乙布袋里有個紅球,個白球;丙布袋里有個紅球,個白球.
求的值,并求從甲、乙兩個布袋中隨機各摸出個小球,求摸出的兩個小球都是紅球的概率;
利用列表或樹狀圖法求從甲、乙、丙三個布袋中隨機各摸出個小球,求摸出的三個小球是一紅二白的概率.
將丙袋子中原有的所有小球拿出,另裝個只有顏色不同的球,其中個白球,個紅球,若從袋中取出若千個紅球,換成相同數(shù)量的黃球.攪拌均勻后,使得隨機從袋中摸出兩個球,顏色是一白一黃的概率為,(不放回拿球)求袋中有幾個紅球被換成了黃球?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為半圓O的直徑,點C在半圓上,過點O作BC的平行線交AC于點E,交過點A的直線于點D,且∠D=∠BAC
(1)求證:AD是半圓O的切線;
(2)求證:△ABC∽△DOA;
(3)若BC=2,CE=,求AD的長.
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