【題目】ABCDEC中,AC=BCDC=EC,ACB=ECD=90°.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)AC、D在同一條直線上時,AC=12,EC=5

求證:AFBD,

AF的長度;

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)A、C、D不在同一條直線上時求證:AFBD;

(3)如圖3,在(2)的條件下,連接CF并延長CFAD于點(diǎn)G,AFG是一個固定的值嗎?若是,求出AFG的度數(shù),若不是,請說明理由

【答案】(1)AF=(2)見解析(3)AFG=45°

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)SAS可證ACEBCD,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得1=2,再結(jié)合對頂角相等證得結(jié)論;

根據(jù)同一個三角形的面積不變可求的AF得值;

(2)如的方法,根據(jù)SAS證得ACEBCD,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和垂直的定義可證;

(3)如圖4,過點(diǎn)C作CMBD,CNAE,垂足分別為M、N,然后由上面的結(jié)論ACEBCD,可根據(jù)全等三角形的面積相等證得CM=CN,再根據(jù)角平分線的判定得證CF平分BFE,最后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得證.

試題解析:(1)證明:如圖1,AC=BC,ACB=ECD=90°,EC=DC,∴△ACEBCD,

1=2,3=4,BFE=ACE=90°,AFBD.

ECD=90°,BC= AC=12,DC= EC=5,BD=13,

SABD=AD·BC=BD·AF,AF=

(法2:ECD=90°,BC= AC=12,DC= EC=5,AE=BD=13,BE=7,設(shè)EF=x,

BFE=90°BF2=BE2-EF2,BF2=AB2-AF2,72-x2=288-(13+x)2

x=,AF=13+=

(2)證明:如圖4,ACB=ECD,ACB+ACD=ECD+ACD,BCD=ACE

AC=BC,ACE=BCD,EC=DC,∴△ACEBCD,1=2,

3=4,BFA=BCA=90°AFBD.

(3)AFG=45°

如圖4,過點(diǎn)C作CMBD,CNAE,垂足分別為M、N,

∵△ACEBCD,SACE=SBCDAE=BD,SACE=AE·CN,

SBCD=BD·CM,CM=CN,

CMBD,CNAE,CF平分BFE,

AFBD,BFE=90°,EFC=45°,AFG=45°

(法2:過點(diǎn)C作CMBD,CNAE,垂足分別為M、N,CMBD,CNAE,

BMC=ANC=90°,∵△ACEBCD,1=2,BMC=ANC=90°,1=2,

AC=BC,∴△BCMACN,CM=CN,CMBD,CNAE,CF平分BFE,

AFBD,BFE=90°,EFC=45°,AFG=45°

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二等

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三等

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