【題目】如圖,我們把一個(gè)半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”.如果一條直線與果圓只有一個(gè)交點(diǎn),則這條直線叫做果圓的切線.已知A、B、C、D四點(diǎn)為果圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),E為半圓的圓心,拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3,AC為半圓的直徑.
(1)分別求出A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求經(jīng)過點(diǎn)D的果圓的切線DF的解析式;
(3)若經(jīng)過點(diǎn)B的果圓的切線與x軸交于點(diǎn)M,求△OBM的面積.
【答案】
(1)解:連接DE,
∵y=x2﹣2x﹣3,
∴x=0時(shí),y=﹣3,
y=0時(shí),x1=﹣1,x2=3,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,﹣3),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,0),
∵AC=4,
∴AE=DE=2,
∴OE=1,
∴OD= = ,
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, )
(2)解:∵DF是果圓的切線,
∴ED⊥DF,又DO⊥EF,
∴DE2=EOEF,
∴EF=4,則OF=3,
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(﹣3,0),
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)D的果圓的切線DF的解析式為y=kx+b,
則 ,
解得 .
∴經(jīng)過點(diǎn)D的果圓的切線DF的解析式為y= x+
(3)解:設(shè)經(jīng)過點(diǎn)B的果圓的切線的解析式為:y=ax+c,
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,﹣3),
∴經(jīng)過點(diǎn)B的果圓的切線的解析式為:y=ax﹣3,
由題意得,方程組 只有一個(gè)解,
即一元二次方程x2﹣(a+2)x=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,
△=(a+2)2﹣4×1×0=0,
解得a=﹣2,
∴經(jīng)過點(diǎn)B的果圓的切線的解析式為:y=﹣2x﹣3,
當(dāng)y=0時(shí),x=﹣ ,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣ ,0),即OM= ,
∴△OBM的面積= ×OM×OB= .
【解析】(1)連接DE, 根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出半圓直徑AC的長(zhǎng),從而得出半徑AE=DE=2,算出OE的長(zhǎng),根據(jù)勾股定理得出OD的長(zhǎng),從而得出D點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)根據(jù)切線的性質(zhì)得出ED⊥DF,又DO⊥EF,從而判斷出△OED△DEF,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出DE2=EOEF,從而得出點(diǎn)F的坐標(biāo),設(shè)經(jīng)過點(diǎn)D的果圓的切線DF的解析式為y=kx+b,用待定系數(shù)法求出經(jīng)過點(diǎn)D的果圓的切線DF的解析式;
(3)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)B的果圓的切線的解析式為:y=ax+c,由于直線過點(diǎn)B,故經(jīng)過點(diǎn)B的果圓的切線的解析式為:y=ax﹣3,由于y=ax﹣3與y=x2﹣2x﹣3組成的方程組只有一個(gè)解,即一元二次方程x2﹣(a+2)x=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,由根的判別式(a+2)2﹣4×1×0=0,得出a的值,從而得出經(jīng)過點(diǎn)B的果圓的切線的解析式為:y=﹣2x﹣3,進(jìn)而找到M點(diǎn)的坐標(biāo),求出△OBM的面積。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解三角形的面積的相關(guān)知識(shí),掌握三角形的面積=1/2×底×高,以及對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)的理解,了解相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,D,E分別是三角形ABC的邊AB,BC上的點(diǎn),DE∥AC,點(diǎn)F在DE的延長(zhǎng)線上,且∠DFC=∠A.
(1)求證:AB∥CF;
(2)若∠ACF比∠BDE大40°,求∠BDE的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB∥CD,∠A=50°,∠C=45°,求∠P的度數(shù).
下面提供三種思路:
(1)過P作FG∥AB
(2)延長(zhǎng)AP交直線CD于M;
(3)延長(zhǎng)CP交直線AB于N.
請(qǐng)選擇兩種思路,求出∠P的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,O是直線AB上一點(diǎn),OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,則下列說法錯(cuò)誤的是( )
A. ∠DOE為直角B. ∠DOC和∠AOE互余
C. ∠AOD和∠DOC互補(bǔ)D. ∠AOE和∠BOC互補(bǔ)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算術(shù)》中提出下表,此表揭示了(n為非負(fù)整數(shù))展開式的各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律,例如:
(a+b)0=1,它只有一項(xiàng),系數(shù)為1;
(a+b)1=a+b,它有兩項(xiàng),系數(shù)分別為1,1;
(a+b)2=a2+2ab+b2,它有三項(xiàng),系數(shù)分別為1,2,1;
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,它有四項(xiàng),系數(shù)分別為1,3,3,1;…
根據(jù)以上規(guī)律,(a+b)6展開式共有______項(xiàng),各項(xiàng)系數(shù)的和等于______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為深化課程改革,某校為學(xué)生開設(shè)了形式多樣的社團(tuán)課程,為了解部分社團(tuán)課程在學(xué)生中最受歡迎的程度,學(xué)校隨機(jī)抽取七年級(jí)名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,從:文學(xué)鑒賞,:科學(xué)探究,:文史天地,:趣味數(shù)學(xué)四門課程中選出你喜歡的課程(被調(diào)查的每名學(xué)生必選且只能選擇一門課程),并將調(diào)查結(jié)果制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖:
(1)_________,_________;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“”所對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是________度;
(3)請(qǐng)根據(jù)以上信息直接在答題卡中補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,分別用火柴棍連續(xù)搭建正三角形和正方形,公共邊只用一根火柴棍.
(1)連續(xù)搭建個(gè)三角形需要火柴根________根,連續(xù)搭建個(gè)正方形需要火柴根________根;
(2)若搭建正三角形和正方形共用了2018根火柴棍,正三角形的個(gè)數(shù)比正方形的個(gè)數(shù)多3個(gè),則搭建的正三角形個(gè)數(shù)是________,正方形的的個(gè)數(shù)是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:拋物線y=- +bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且∠BAC=α,∠ABC= ,tanα-tanβ=2,∠ACB=90°.
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式;
(3)若拋物線的頂點(diǎn)為P,求四邊形ABPC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明有5張寫著不同的數(shù)字的卡片,請(qǐng)你按要求抽出卡片,完成下列各問題:
(1)從中取出2張卡片,使這2張卡片上數(shù)字乘積最大,最大值是 ;
(2)從中取出2張卡片,使這2張卡片上數(shù)字相除的商最小,最小值是 ;
(3)從中取出4張卡片,用學(xué)過的運(yùn)算方法,使結(jié)果為24.寫出運(yùn)算式子:
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