【題目】已知拋物線y=﹣x2+3x+4交y軸于點(diǎn)A,交x軸于點(diǎn)B,C(點(diǎn)B在點(diǎn)C的右側(cè)).過(guò)點(diǎn)A作垂直于y軸的直線l.在位于直線l下方的拋物線上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作直線PQ平行于y軸交直線l于點(diǎn)Q.連接AP.

(1)寫(xiě)出A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)若點(diǎn)P位于拋物線的對(duì)稱軸的右側(cè):

①如果以A,P,Q三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與AOC相似,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);

②若將APQ沿AP對(duì)折,點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M.是否存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)M落在x軸上?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

③設(shè)AP的中點(diǎn)是R,其坐標(biāo)是(m,n),請(qǐng)直接寫(xiě)出m和n的關(guān)系式,并寫(xiě)出m的取值范圍.

【答案】(1)B(4,0),C(﹣1,0)(2)P(,)或(7,24)P(4,0)或(5,﹣6)m0,或m

【解析】

試題分析:(1)先令x=0求出y的值即可得出A點(diǎn)坐標(biāo),再令y=0求出x的值即可得出BC兩點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)①分AQP∽△AOC與AQP∽△COA兩種情況進(jìn)行討論;

②過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線交直線AQ于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)P作PF直線ME于點(diǎn)F,設(shè)Q(x,4),則P(x,﹣x2+3x+4),PQ=x2﹣3x=PM,再由AEM∽△MFP求出PF的表達(dá)式,在RtAOM中根據(jù)勾股定理求出x的值,進(jìn)而可得出P點(diǎn)坐標(biāo)

③根據(jù)在位于直線l下方的拋物線上任取一點(diǎn)P,則有a0或a3,由點(diǎn)P在拋物線上即可建立m與n的關(guān)系.

試題解析:(1)令x=0,則y=4,

A(0,4);

令y=0,則﹣x2+3x+4=0,解得x1=4,x2=﹣1,

B(4,0),C(﹣1,0);

(2)①以A,P,Q三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與AOC相似,

∴△AQP∽△AOC與AQP∽△COA,

,

,

解得x=或x=7,均在對(duì)稱軸的右側(cè),

P(,)或(7,24);

②如圖所示,過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線交直線AQ于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)P作PF直線ME于點(diǎn)F,

設(shè)Q(x,4),則P(x,﹣x2+3x+4),PQ=x2﹣3x=PM,

∵∠EAM+EMA=90°,EMA+FMP=90°,

∴∠FMP=EAM.

∵∠MFP=AEM=90°,

∴△AEM∽△MFP,

MP=x2﹣3x,

,

PF=4x﹣12,

OM=(4x﹣12)﹣x=3x﹣12,

在RtAOM中,

OM2+OA2=AM2,即(3x﹣12)2+42=x2,解得x1=4,x2=5均在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè),

P(4,0)或(5,﹣6).

拋物線y=﹣x2+3x+4和A(0,4),

拋物線和直線l的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,4),(3,4),

設(shè)P(a,﹣a2+3a+4);(a0或a3)

AP的中點(diǎn)是R,A(0,4),

=m,=n,

n=﹣2m2+3m+4,

a0或a3,

2m0,或2m3,

m0,或m

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B.41.68

C.43.16

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