Question

【題目】如圖，在ABCD中，AD=2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則下列結(jié)論中一定成立的是 ． （把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上） ①∠DCF= ∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①∵F是AD的中點(diǎn)， ∴AF=FD，
∵在ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF= ∠BCD，故此選項(xiàng)正確；
延長(zhǎng)EF，交CD延長(zhǎng)線于M，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F為AD中點(diǎn)，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正確；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM ，
∵M(jìn)C＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF錯(cuò)誤；
④設(shè)∠FEC=x，則∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此選項(xiàng)正確．
所以答案是：①②④．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直角三角形斜邊上的中線和平行四邊形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；平行四邊形的對(duì)邊相等且平行；平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對(duì)角線互相平分．