【題目】閱讀下列材料,并用相關(guān)的思想方法解決問(wèn)題.
計(jì)算:(1﹣)×(+++)﹣(1﹣)×(++).
++=t,則
原式=(1﹣t)(t+)﹣(1﹣t﹣)t
=t+﹣t2t﹣t+t2
=
問(wèn)題:
(1)計(jì)算
(1﹣﹣…﹣)×(++++…++)﹣(1﹣﹣…﹣)×(+++…+);
(2)解方程(x2+5x+1)(x2+5x+7)=7.

【答案】
(1)

解:設(shè)++…+=t,

則原式=(1﹣t)×(t+)﹣(1﹣t﹣)×t

=t+﹣t2t﹣t+t2+t

=


(2)

解:設(shè)x2+5x+1=t,

則原方程化為:t(t+6)=7,

t2+6t﹣7=0,

解得:t=﹣7或1,

當(dāng)t=1時(shí),x2+5x+1=1,

x2+5x=0,

x(x+5)=0,

x=0,x+5=0,

x1=0,x2=﹣5;

當(dāng)t=﹣7時(shí),x2+5x+1=﹣7,

x2+5x+8=0,

b2﹣4ac=52﹣4×1×8<0,

此時(shí)方程無(wú)解;

即原方程的解為:x1=0,x2=﹣5.


【解析】(1)設(shè)++…+=t,則原式=(1﹣t)×(t+)﹣(1﹣t﹣)×t,進(jìn)行計(jì)算即可;
(2)設(shè)x2+5x+1=t,則原方程化為:t(t+6)=7,求出t的值,再解一元二次方程即可.
【考點(diǎn)精析】利用換元法和有理數(shù)的四則混合運(yùn)算對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知換元法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想,其應(yīng)用非常廣泛,當(dāng)分式方程具有某種特殊形式,一般的去分母不易解決時(shí),可考慮用換元法;在沒有括號(hào)的不同級(jí)運(yùn)算中,先算乘方再算乘除,最后算加減.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(3)動(dòng)點(diǎn)P仍按(2)中的方向和速度運(yùn)動(dòng),但Q點(diǎn)從A點(diǎn)向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng),速度為1個(gè)單位/秒,P、Q與△OAB中的任意一個(gè)頂點(diǎn)形成直角三角形時(shí),求此時(shí)t(t≠0)的值.

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