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【題目】如圖,在ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,ABAC,AB3cm,BC5cm.PA點出發(fā)沿AD方向勻速運動,速度為1cm/s.連結PO并延長交BC于點Q,設運動時間為t(0t5)

(1)t為何值時,四邊形ABQP是平行四邊形?

(2)設四邊形OQCD的面積為y(cm2),求yt之間的函數關系式;

(3)是否存在某一時刻t,使點O在線段AP的垂直平分線上?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.

  備用圖

【答案】1)當t時,四邊形ABQP是平行四邊形(2yt33)存在,當t時,點O在線段AP的垂直平分線上

【解析】

1)根據ASA證明△APO≌△CQO,再根據全等三角形的性質得出APCQt,則BQ5t,再根據平行四邊形的判定定理可知當APBQ,APBQ時,四邊形ABQP是平行四邊形,即t5t,求出t的值即可求解;

2)過AAHBC于點H,過OOGBC于點G,根據勾股定理求出AC4,由RtABC的面積計算可求得AH,利用三角形中位線定理可得OG=,再根據四邊形OQCD的面積y= SOCDSOCQOC·CDCQ·OG,代入數值計算即可得yt之間的函數關系式;

3)如圖2,若OEAP的垂直平分線,可得AEAP,∠AEO90°,根據勾股定理可得AE2OE2AO2,由(2)知:AO2,OE,列出關于t的方程,解方程即可求出t的值.

(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,

OAOC,ADBC,

∴∠PAO=∠QCO.

又∵∠AOP=∠COQ

∴△APO≌△CQO,

APCQt.

BC5,

BQ5t.

APBQ

APBQ時,四邊形ABQP是平行四邊形,

t5t,∴t

∴當t時,四邊形ABQP是平行四邊形;

(2) 1

如圖1,過AAHBC于點H,過OOGBC于點G.

RtABC中,∵AB3,BC5,∴AC4,

COAC2,

SABCAB·ACBC·AH

3×45AH,

AH.

AHOG,OAOC,

GHCG,

OGAH,

ySOCDSOCQOC·CDCQ·OG

y×2×3×t×t3;

 2

(3)存在.

如圖2,∵OEAP的垂直平分線,

AEAP,∠AEO90°

(2)知:AO2,OE

由勾股定理得:AE2OE2AO2,

(t)2()222,

t或- (舍去),

∴當t時,點O在線段AP的垂直平分線上.

故答案為:(1)當t時,四邊形ABQP是平行四邊形(2yt33)存在,當t時,點O在線段AP的垂直平分線上.

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