【題目】如圖,點E是正方形ABCD的邊BC上一點,連接DE,將DE繞著點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到EG,過點G作GF⊥CB,垂足為F,GH⊥AB,垂足為H,連接DG,交AB于I.
(1)求證:四邊形BFGH是正方形;
(2)求證:ED平分∠CEI;
(3)連接IE,若正方形ABCD的邊長為3,則△BEI的周長為 .
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)6
【解析】
(1)先證根據(jù)∠F=∠GHB=∠ABF=90°證得四邊形BFGH為矩形,再證明△DCE≌△EFG進而可證得BF=FG,根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形即可得證;
(2)延長EC到點M,使得CM=AI,連接DM,先證△ADI≌△CDM可得DI=DM,∠ADI=∠CDM,進而可證△EDM≌△EDI得∠DEI=∠DEC,即可得證;
(3)由(2)可知IE=EM=EC+CM=EC+AI,則△BEI的周長為BI+BE+IE=BI+BE+EC+AI=AB+BC,由此可求得答案.
(1)證明:∵將DE繞著點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到EG,
∴DE=EG,∠DEG=90°,
∴∠DEC+∠GEF=90°,
∵在正方形ABCD中
∴∠C=∠ABC=∠ABF=90°,BC=CD,
∴∠DEC+∠CDE=90°,
∴∠CDE=∠GEF,
∵GF⊥CB,GH⊥AB,
∴∠F=∠GHB=90°,
∴∠F=∠GHB=∠ABF=90°,
∴四邊形BFGH為矩形,
在△DCE與△EFG中,
∴△DCE≌△EFG(AAS)
∴EF=CD,FG=CE,
∴EF=BC,
∴EF-BE=BC-BE,
即BF=CE,
∴BF=FG,
∴矩形BFGH為正方形;
(2)證明:如圖,延長EC到點M,使得CM=AI,連接DM,
∵在正方形ABCD中
∴∠ADC=∠A=∠DCE=∠DCM=90°,AD=CD,
在△ADI與△CDM中,
∴△ADI≌△CDM(SAS)
∴DI=DM,∠ADI=∠CDM,
∵DE=EG,∠DEG=90°,
∴∠EDG=∠EGD=45°,
又∵∠ADC=90°,
∴∠ADI+∠CDE=45°,
∴∠EDM=∠CDM+∠CDE=45°,
∴∠EDM=∠EDG,
在△EDM與△EDI中,
∴△EDM≌△EDI(SAS)
∴∠DEI=∠DEC,
∴DE平分∠IEC;
(3)解:由(2)可知△EDM≌△EDI,
∴IE=EM=EC+CM,
又∵CM=AI,
∴IE=EC+CM=EC+AI,
∴△BEI的周長為BI+BE+IE=BI+BE+EC+AI=AB+BC,
∵正方形ABCD的邊長為3,
∴△BEI的周長為AB+BC=6,
故答案為:6.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB=AD=2,∠A=60°,BC=,CD=3.
(1)求∠ADC的度數(shù);
(2)求四邊形ABCD的面積.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在□ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,AB⊥AC,AB=3cm,BC=5cm.點P從A點出發(fā)沿AD方向勻速運動,速度為1cm/s.連結(jié)PO并延長交BC于點Q,設(shè)運動時間為t(0<t<5).
(1)當t為何值時,四邊形ABQP是平行四邊形?
(2)設(shè)四邊形OQCD的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)是否存在某一時刻t,使點O在線段AP的垂直平分線上?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
備用圖
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】填空完成下列推理過程
已知:如圖,BD⊥AC,EF⊥AC,點D、F分別是垂足,∠1=∠4.
試說明:∠ADG=∠C
解:∵BD⊥AC,EF⊥AC(已知)
∴∠2=90°∠3=90°(垂直的定義)
∴∠2=∠3(等量代換)
∴BD∥EF
∴∠4=∠5(兩直線平行同位角相等)
∵∠1=∠4(已知)
∠1=∠5
∴DG∥CB(內(nèi)錯角相等兩直線平行)
∴∠ADG=∠C
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點E在△ABC的邊AB上,∠C=90°,∠BAC的平分線交BC于點D,且D在以AE為直徑的⊙O上.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)已知∠B=30°,CD=4,求線段AB的長.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知AB∥CD.
(1)如圖①,若∠ABE=30°,∠BEC=148°,求∠ECD的度數(shù);
(2)如圖②,若CF∥EB,CF平分∠ECD,試探究∠ECD與∠ABE之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的方程x2-(k+2)x+2k=0.
(1)求證:k取任何實數(shù)值,方程總有實數(shù)根;
(2)若此方程的一個根是1,請求出方程的另一個根,并求以此兩根為邊長的直角三角形的周長.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,BP是△ABC中∠ABC的平分線,CP是∠ACB的外角的平分線,如果∠ABP=20°,∠ACP=50°,則∠A+∠P=( )
A.70°B.80°C.90°D.100°
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在一個不透明的口袋中裝有3個帶號碼的球,球號分別為2,3,4,這些球除號碼不同外其它均相同。甲、乙、兩同學玩摸球游戲,游戲規(guī)則如下:
先由甲同學從中隨機摸出一球,記下球號,并放回攪勻,再由乙同學從中隨機摸出一球,記下球號。將甲同學摸出的球號作為一個兩位數(shù)的十位上的數(shù),乙同學的作為個位上的數(shù)。若該兩位數(shù)能被4整除,則甲勝,否則乙勝.
問:這個游戲公平嗎?請說明理由。
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com