【題目】在平面直角坐標系中,已知長方形,點,.
(1)如圖,有一動點在第二象限的角平分線上,若,求的度數(shù);
(2)若把長方形向上平移,得到長方形.
①在運動過程中,求的面積與的面積之間的數(shù)量關系;
②若,求的面積與的面積之比.
【答案】(1)55°或35°;(2)①;②.
【解析】
(1)分兩種情況:①在Rt△FEC中,求出∠FEC=90°-10°=80°,然后根據(jù)點在第二象限的角平分線上,得出∠POE=45°,對頂角相等,即可得出∠CPO=180°-80°-45°=55°;②由已知條件,得出∠CEO=45°,又根據(jù)∠CEO=∠CPE+∠PCB,得出∠CPO;
(2)①首先設長方形向上平移個單位長,得到長方形,然后列出和的面積,即可得出兩者的數(shù)量關系;
②首先根據(jù)已知條件判定四邊形是平行四邊形,經(jīng)過等量轉化,即可得出和的面積,進而得出其面積之比.
(1)分兩種情況:
①令PC交x軸于點E,延長CB至x軸,交于點F,如圖所示:
由已知得,,∠CFE=90°
∴∠FEC=90°-10°=80°,
又∵點在第二象限的角平分線上,
∴∠POE=45°
又∵∠FEC=∠PEO=80°
∴∠CPO=180°-80°-45°=55°
②延長CB,交直線l于點E,
由已知得,,
∵點在第二象限的角平分線上,
∴∠CEO=45°
∴∠CEO=∠CPE+∠PCB
∴∠CPO=45°-10°=35°.
故答案為55°或35°.
(2)如圖,
①設長方形向上平移個單位長,得到長方形
∴
②∵長方形,
∴
∵,
令交于E,
則四邊形是平行四邊形,
∴
∴
又∵
由①得知,
∴
∴.
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【題目】閱讀下列材料,并用相關的思想方法解決問題.
計算:(1﹣﹣﹣)×(++)﹣(1﹣﹣﹣)×(++).
令++=t,則原式=(1﹣t)(t+)﹣(1﹣t﹣)t=t+﹣t2﹣t﹣t+t2=,
問題:
(1)計算:(1﹣﹣﹣)×(++)﹣(1﹣﹣﹣)×(++);
(2)解方程(x2+5x+1)(x2+5x+7)=7.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,長方形ABCD的邊AB在y軸正半軸上,頂點A的坐標為(0,2),設頂點C的坐標為(a,b).
(1)頂點B的坐標為 ,頂點D的坐標為 (用a或b表示);
(2)如果將一個點的橫坐標作為x的值,縱坐標作為y的值,代入方程2x+3y=12成立,就說這個點的坐標是方程2x+3y=12的解.已知頂點B和D的坐標都是方程2x+3y=12的解,求a,b的值;
(3)在(2)的條件下,平移長方形ABCD,使點B移動到點D,得到新的長方形EDFG,
①這次平移可以看成是先將長方形ABCD向右平移 個單位長度,再向下平移 個單位長度的兩次平移;
②若點P(m,n)是對角線BD上的一點,且點P的坐標是方程2x+3y=12的解,試說明平移后點P的對應點P′的坐標也是方程2x+3y=12的解.
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【題目】已知關于的一元二次方程.
(1)若此方程的一個根為1,求的值;
(2)求證:不論取何實數(shù),此方程都有兩個不相等的實數(shù)根.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中有Rt△ABC,∠A=90°,AB=AC,A(-2,0)、B(0, d)、C(-3,2).
(1)求d的值;
(2)將△ABC沿軸的正方向平移a個單位,在第一象限內B、C兩點的對應點B′、C′正好落在某反比例函數(shù)圖像上.請求出這個反比例函數(shù)和此時直線B′C′的解析式;
(3)在(2)的條件下,直線交y軸于點G,作⊥軸于. 是線段上的一點,若△和△面積相等,求點坐標.
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【題目】如圖,在13×7的網(wǎng)格中,每個小正方形邊長都是1,其頂點叫做格點,如圖A、B、D、E、M、P均為格點.
(1)請在網(wǎng)格中畫□ABCD,要求C點在格點上.
(2)在(1)中□ABCD右側畫格點△EFG,并使EF=5,FG=3,EG=.
(3)以MP為對角線畫矩形MNPQ(M、N、P、Q按逆時針方向排列),使矩形MNPQ的面積為10.
(4)在直線AE上有一點W,使WB+WM的值最小,則這個最小值為 .
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【題目】如圖,已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,點M為DE的中點,過點E與AD平行的直線交射線AM于點N.
(1)當A,B,C三點在同一直線上時(如圖1),直接寫出線段AD與NE的數(shù)量關系為 .
(2)將圖1中的△BCE繞點B旋轉,當A,B,E三點在同一直線上時(如圖2),判斷△ACN是什么特殊三角形并說明理由.
(3)將圖1中△BCE繞點B旋轉到圖3位置,此時A,B,M三點在同一直線上.若AC=3,AD=1,則四邊形ACEN的面積為 .
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【題目】隨著通訊技術的迅猛發(fā)展,人與人之間的溝通方式更多樣、便捷.某校數(shù)學興趣小組設計了“你最喜歡的溝通方式”調查問卷(每人必選且只選一種),在全校范圍內隨機調查了部分學生,將統(tǒng)計結果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請結合圖中所給的信息解答下列問題:
(1)這次統(tǒng)計共抽查了________名學生;在扇形統(tǒng)計圖中,表示“QQ”的扇形圓心角的度數(shù)為___________;
(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)某天甲、乙兩名同學都想從“微信”、“QQ”、“電話”三種溝通方式中選一種方式與對方聯(lián)系,請用列表或畫樹狀圖的方法求出甲、乙兩名同學恰好選擇同一種溝通方式的概率.
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