【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5cm,∠BAC=60°,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā),在BA邊上以每秒2cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā),在CB邊上以每秒 cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0≤t≤5),連接MN.

(1)若BM=BN,求t的值;
(2)若△MBN與△ABC相似,求t的值;
(3)當(dāng)t為何值時(shí),四邊形ACNM的面積最?并求出最小值.

【答案】
(1)

解:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,∠BAC=60°,

∴∠B=30°,

∴AB=2AC=10,BC=5

由題意知:BM=2t,CN= t,

∴BN=5 - t,

∵BM=BN,

∴2t=5 - t

解得:


(2)

解:分兩種情況:①當(dāng)△MBN∽△ABC時(shí),

,即 ,

解得:t=

②當(dāng)△NBM∽△ABC時(shí),

,即

解得:t=

綜上所述:當(dāng)t= 或t= 時(shí),△MBN與△ABC相似.


(3)

解:過(guò)M作MD⊥BC于點(diǎn)D,則MD∥AC,

∴△BMD∽△BAC,

,

解得:MD=t.

設(shè)四邊形ACNM的面積為y,

y= = =

∴根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)t= 時(shí),y的值最。

此時(shí),


【解析】(1)由已知條件得出AB=10,BC=5 . 由題意知:BM=2t,CN= t,BN=5 - t,由BM=BN得出方程2t=5 - t,解方程即可;(2)分兩種情況:①當(dāng)△MBN∽△ABC時(shí),由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出比例式,即可得出t的值;②當(dāng)△NBM∽△ABC時(shí),由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出比例式,即可得出t的值;(3)過(guò)M作MD⊥BC于點(diǎn)D,則MD∥AC,證出△BMD∽△BAC,得出比例式求出MD=t.四邊形ACNM的面積y=△ABC的面積﹣△BMN的面積,得出y是t的二次函數(shù),由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.CD⊥l
B.點(diǎn)A,B關(guān)于直線CD對(duì)稱(chēng)
C.點(diǎn)C,D關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)
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第一個(gè)數(shù)是
第二個(gè)數(shù)是 ;
第三個(gè)數(shù)是 ;

對(duì)任何正整數(shù)n,第n個(gè)數(shù)與第(n+1)個(gè)數(shù)的和等于
(1)經(jīng)過(guò)探究,我們發(fā)現(xiàn):
設(shè)這列數(shù)的第5個(gè)數(shù)為a,那么 , , ,哪個(gè)正確?
請(qǐng)你直接寫(xiě)出正確的結(jié)論;
(2)請(qǐng)你觀察第1個(gè)數(shù)、第2個(gè)數(shù)、第3個(gè)數(shù),猜想這列數(shù)的第n個(gè)數(shù)(即用正整數(shù)n表示第n數(shù)),并且證明你的猜想滿足“第n個(gè)數(shù)與第(n+1)個(gè)數(shù)的和等于 ”;
(3)設(shè)M表示 , ,…, ,這2016個(gè)數(shù)的和,即
求證:

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B.點(diǎn)數(shù)的和為奇數(shù)
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移植的棵數(shù)n

1000

1500

2500

4000

8000

15000

20000

30000

成活的棵數(shù)m

865

1356

2220

3500

7056

13170

17580

26430

成活的頻率

0.865

0.904

0.888

0.875

0.882

0.878

0.879

0.881

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A.0.324πm2
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