【題目】(1)如圖1,直線AB∥CD,點P在兩平行線之間,寫出∠BAP、∠APC、∠DCP滿足的數(shù)量關(guān)系

(2)如圖2,直線ABCD相交于點E,點P∠AEC內(nèi)一點,AQ平分∠EAP,CQ平分∠ECP,若∠AEC=40°,∠AQC=70°,求∠APC的度數(shù).

(3)如圖3,連接AD、CB交于點P,AQ平分∠BAD,CQ平分∠BCD,探究∠ABC、∠AQC、∠ADC滿足的關(guān)系.

【答案】(1)∠BAP+∠DCP=∠APC;(2)100°;(3)∠ABC+∠ADC=2∠AQC.

【解析】

(1)過PPEAB,利用平行線的性質(zhì):兩直線平行內(nèi)錯角相等,易得到∠BAP、APC、DCP間關(guān)系;

(2)連接EQ并延長至G,連接QP并延長到H,利用角平分線的性質(zhì)和三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的關(guān)系,先得到∠QAP+QCP=30°,再得到∠APC的度數(shù).

(3)利用角平分線的性質(zhì),得到∠BAQ=QAD,DCQ=QCB,利用三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角,通過∠BEQ、DFQ把∠ABC、AQC、ADC、連接起來得到結(jié)論.

:(1)如圖1所示,過PPEAB,

ABCD,PECD

PEAB,∴∠BAP=APE,

同理,∠DCP=CPE

∴∠BAP+DCP=APE+CPE=APC

故答案為:∠BAP+DCP=APC,

(2)連接EQ并延長至G,

AQ平分∠EAP,CQ平分∠ECP,

∴∠EAQ=QAP,ECQ=QCP

∵∠AQG=QAE+AEQ,CQG=QCE+CEQ,

∴∠AQG+CQG=QAE+AEQ+QCE+CEQ,

即∠AQC=CEA+QAE+QCE

∵∠AEC=40°,AQC=70°

∴∠QAE+QCE=30°

即∠QAP+QCP=30°

連接QP并延長到H.

∵∠APH=AQP+PAQ,CPH=PQC+PCQ,

∴∠APH+CPH=AQP+PAQ+PQC+PCQ,

即∠APC=CQA+QAP+QCP

∴∠APC=30°+70°=100°.

(3)如圖3中,

AQ平分∠BAD,CQ平分∠BCD,

∴∠BAQ=QAD,DCQ=QCB

∵∠BEQ=ABC+BAQ=BCQ+AQC,

∵∠QFD=ADC+QCD=QAD+AQC,

∴∠ABC+BAQ+ADC+QCD=BCQ+AQC+QAD+AQC

即∠ABC+ADC=2AQC.

練習(xí)冊系列答案
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(1)如圖1,當(dāng)tan∠PAB=1,c=4 時,a= , b=;
如圖2,當(dāng)∠PAB=30°,c=2時,a= , b=;
(2)【歸納證明】請你觀察(1)中的計算結(jié)果,猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系,用等式表示出來,并利用圖3證明你的結(jié)論.
(3)【拓展證明】如圖4,ABCD中,E、F分別是AD、BC的三等分點,且AD=3AE,BC=3BF,連接AF、BE、CE,且BE⊥CE于E,AF與BE相交點G,AD=3 ,AB=3,求AF的長.

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A.25
B.18
C.9
D.9

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A.
B.
C.
D.

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項目
學(xué)生

長跑

短跑

跳繩

跳遠(yuǎn)

200

×

300

×

×

150

×

200

×

×

150

×

×

×


(1)估計學(xué)生同時喜歡短跑和跳繩的概率;
(2)估計學(xué)生在長跑、短跑、跳繩、跳遠(yuǎn)中同時喜歡三個項目的概率;
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