Question

如圖，已知拋物線交x軸于點A、點B，交y軸于點C，且點A（6，0），點C（0，4），AB=5OB，設點E（x，y）是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形．
（1）求拋物線解析式及頂點坐標；
（2）求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當平行四邊形OEAF的面積為24時，請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形？
（4）是否存在點E，使平行四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點A（6，0），AB=5OB，
∴點B（1，0），
設所求拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
則由題意可得：，
解之得，
∴所求拋物線的解析式為：y=x²-x+4，
∵y=x²-x+4=（x-）²-，
∴所求拋物線的頂點坐標為：（，-）；

（2）∵點E（x，y）在拋物線上，位于第四象限，且坐標適合y=x²-x+4，
∴y＜0，
即-y＞0，-y表示點E到OA的距離．
∵OA是平行四邊形OEAF的對角線，
∴S=2S_△OAE=2××OA•|y|=-6y=-6（x²-x+4）=-4x²+28x-24，
自變量x的取值范圍為：1＜x＜6；

（3）根據(jù)題意得：-4x²+28x-24=24，
解之，得x₁=3，x₂=4，
∴所求的點E有兩個，分別為E₁（3，-4），E₂（4，-4），
∵點E₁（3，-4），
∴OE=5，AE==5，
∴OE=AE，
∴平行四邊形OEAF是菱形，
∵點E₂（4，-4），
∴OE=4，AE==3，
∴不滿足OE=AE，
∴平行四邊形OEAF不是菱形；

（4）∵當OA⊥EF，且OA=EF時，平行四邊形OEAF是正方形，此時點E坐標只能（3，-3），而坐標為（3，-3）點不在拋物線上，
∴不存在這樣的點E，使平行四邊形OEAF為正方形．
分析：（1）由A（6，0），AB=5OB，即可求得點B的坐標，又由點A，B，C在拋物線上，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，然后利用配方法求得頂點坐標；
（2）由設點E（x，y）是拋物線上一動點，且位于第四象限，可得y＜0，即-y＞0，-y表示點E到OA的距離，又由S=2S_△OAE=2××OA•|y|，即可求得平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關系式，結(jié)合圖象，求得自變量x的取值范圍；
（3）由平行四邊形OEAF的面積為24，可得方程：-4x²+28x-24=24，解此方程可求得E點坐標，然后分析OE與AE的關系，即可判定平行四邊形OEAF是否為菱形；
（4）由當OA⊥EF，且OA=EF時，平行四邊形OEAF是正方形，可得此時點E坐標只能（3，-3），而坐標為（3，-3）點不在拋物線上，故可判定不存在點E，使平行四邊形OEAF為正方形．
點評：此題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、配方法求頂點坐標、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定以及正方形的判定等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與函數(shù)思想的應用．