如圖,已知拋物線交x軸的正半軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B.
1.求直線AB的解析式;
2.設(shè)P(x,y)(x>0)是直線y = x上的一點(diǎn),Q是OP 的中點(diǎn)(O是原點(diǎn)),以PQ為對(duì)角線作正方形PEQF,若正方形PEQF與直線AB有公共點(diǎn),求x的取值范圍;
3.在(2)的條件下,記正方形PEQF與△OAB公共部分的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)解析式,并探究S的最大值.
1.對(duì)于,令x=0,得y=4,即B(0,4);…
令y=0,即,解得:x1 = —2,x2 = 4,即A(4,0)
設(shè)直線AB的解析式為y = kx + b,
把A(4,0),B(0,4)分別代入上式,得
,解得:k = —1,b = 4,
∴ 直線AB的解析式為y = —x + 4。
2.當(dāng)點(diǎn)P(x,y)在直線AB上時(shí),由x = —x + 4,得:x = 2,
當(dāng)點(diǎn)Q在直線AB上時(shí),依題意可知Q(,),由,得:x = 4,
∴ 若正方形PEQF與直線AB有公共點(diǎn),則x的取值范圍為2≤x≤4;
3.當(dāng)點(diǎn)E(x,)在直線AB上時(shí),,解得,
① 當(dāng)時(shí),直線AB分別與PE、PF交于點(diǎn)C、D,此時(shí)PC = x—(—x+4) = 2x—4,
∵ PD = PC,
∴ S△PCD =
∴
∵,
∴ 當(dāng)時(shí),
② 當(dāng)時(shí),直線AB分別與QE、QF交于點(diǎn)M、N,此時(shí),
∵ QM = QN,
∴ S△QMN=
即,
其中,當(dāng)時(shí),
綜合①、②,當(dāng)時(shí),
【解析】
1.拋物線的解析式中,令x=0可求出B點(diǎn)的坐標(biāo),令y=0可求出A點(diǎn)的坐標(biāo),然后用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式;
2.可分別求出當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)Q在直線AB上時(shí)x的值,即可得到所求的x的取值范圍;
3.此題首先要計(jì)算出一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):即直線AB過(guò)E、F時(shí)x的值(由于直線AB與直線OP垂直,所以直線AB同時(shí)經(jīng)過(guò)E、F),此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x,),代入直線AB的解析式即可得到x=;
①當(dāng)2≤x<時(shí),直線AB與PE、PF相交,設(shè)交點(diǎn)為C、D;那么重合部分的面積為正方形QEPF和等腰Rt△PDC的面積差,由此可得到關(guān)于S、x的函數(shù)關(guān)系式,進(jìn)而可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍求出S的最大值及對(duì)應(yīng)的x的值;
②當(dāng)≤x≤4時(shí),直線AB與QE、QF相交,設(shè)交點(diǎn)為M、N;此時(shí)重合部分的面積為等腰Rt△QMN的面積,可參照①的方法求出此時(shí)S的最大值及對(duì)應(yīng)的x的值;
綜合上述兩種情況,即可比較得出S的最大值及對(duì)應(yīng)的x的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如圖,已知拋物線交x軸于C(x1,0),D(x2,0)兩點(diǎn),(x1<x2)且
(1)試確定m的值;
(2)過(guò)點(diǎn)A(-1,-5)和拋物線的頂點(diǎn)M的直線交x軸于點(diǎn)B,求B點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)設(shè)點(diǎn)P(a,b)是拋物線上點(diǎn)C到點(diǎn)M之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(含C、M點(diǎn)),是以PO為腰、底邊OQ在x軸上的等腰三角形,過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線交直線AM于點(diǎn)R,連結(jié)PR。設(shè)的面積為S,求S與a之間的函數(shù)關(guān)系式。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如圖,已知拋物線交x軸的正半軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B.
1.求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),并求直線AB的解析式;
2.設(shè)()是直線上的一點(diǎn),Q是OP的中點(diǎn)(O是原點(diǎn)),以PQ為對(duì)角線作正方形PEQF.若正方形PEQF與直線AB有公共點(diǎn),求x的取值范圍;
3.在(2)的條件下,記正方形PEQF與△OAB公共部分的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)解析式,并探究S的最大值.
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