如圖,已知拋物線交x軸于點(diǎn)A、點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C,且點(diǎn)A(6,0),點(diǎn)C(0,4),AB=5OB,設(shè)點(diǎn)E(x,y)是拋物線上一動點(diǎn),且位于第四象限,四邊形OEAF是以O(shè)A為對角線的平行四邊形.
(1)求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)當(dāng)平行四邊形OEAF的面積為24時,請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形?
(4)是否存在點(diǎn)E,使平行四邊形OEAF為正方形?若存在,求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
分析:(1)由A(6,0),AB=5OB,即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo),又由點(diǎn)A,B,C在拋物線上,利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,然后利用配方法求得頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)由設(shè)點(diǎn)E(x,y)是拋物線上一動點(diǎn),且位于第四象限,可得y<0,即-y>0,-y表示點(diǎn)E到OA的距離,又由S=2S△OAE=2×
1
2
×OA•|y|,即可求得平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,結(jié)合圖象,求得自變量x的取值范圍;
(3)由平行四邊形OEAF的面積為24,可得方程:-4x2+28x-24=24,解此方程可求得E點(diǎn)坐標(biāo),然后分析OE與AE的關(guān)系,即可判定平行四邊形OEAF是否為菱形;
(4)由當(dāng)OA⊥EF,且OA=EF時,平行四邊形OEAF是正方形,可得此時點(diǎn)E坐標(biāo)只能(3,-3),而坐標(biāo)為(3,-3)點(diǎn)不在拋物線上,故可判定不存在點(diǎn)E,使平行四邊形OEAF為正方形.
解答:解:(1)∵點(diǎn)A(6,0),AB=5OB,
∴點(diǎn)B(1,0),
設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,
則由題意可得:
36a+6b+c=0
a+b+c=0
c=4
,
解之得
a=
2
3
b=-
14
3
c=4
,
∴所求拋物線的解析式為:y=
2
3
x2-
14
3
x+4,
∵y=
2
3
x2-
14
3
x+4=
2
3
(x-
7
2
2-
25
6
,
∴所求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為:(
7
2
,-
25
6
);

(2)∵點(diǎn)E(x,y)在拋物線上,位于第四象限,且坐標(biāo)適合y=
2
3
x2-
14
3
x+4,
∴y<0,
即-y>0,-y表示點(diǎn)E到OA的距離.
∵OA是平行四邊形OEAF的對角線,
∴S=2S△OAE=2×
1
2
×OA•|y|=-6y=-6(
2
3
x2-
14
3
x+4)=-4x2+28x-24,
自變量x的取值范圍為:1<x<6;

(3)根據(jù)題意得:-4x2+28x-24=24,
解之,得x1=3,x2=4,
∴所求的點(diǎn)E有兩個,分別為E1(3,-4),E2(4,-4),
∵點(diǎn)E1(3,-4),
∴OE=5,AE=
(3-6)2+(-4-0)2
=5,
∴OE=AE,
∴平行四邊形OEAF是菱形,
∵點(diǎn)E2(4,-4),
∴OE=4
2
,AE=
(4-6)2+(-4-0)2
=3
2

∴不滿足OE=AE,
∴平行四邊形OEAF不是菱形;

(4)∵當(dāng)OA⊥EF,且OA=EF時,平行四邊形OEAF是正方形,此時點(diǎn)E坐標(biāo)只能(3,-3),而坐標(biāo)為(3,-3)點(diǎn)不在拋物線上,
∴不存在這樣的點(diǎn)E,使平行四邊形OEAF為正方形.
點(diǎn)評:此題屬于二次函數(shù)綜合題,考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、配方法求頂點(diǎn)坐標(biāo)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定以及正方形的判定等知識.此題綜合性很強(qiáng),難度較大,注意數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與函數(shù)思想的應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•錦州二模)如圖,已知拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),交y軸于點(diǎn)C,已知點(diǎn)B(8,0),tan∠OCB=2,△ABC的面積為8.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)若平行于x軸的動直線EF從點(diǎn)C 出發(fā),以每秒1個單位的速度沿y軸正方向平移,且分別交y軸、線段BC于E、F兩點(diǎn),動點(diǎn)P同時從點(diǎn)B出發(fā)在線段BO上以每秒2個單位的速度運(yùn)動,連接PF、AF,設(shè)運(yùn)動時間為t秒.△AFP的面積為S,求S與t的函數(shù)表達(dá)式;
(3)在(2)的條件下,是否存在t值,使得以P、B、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線交x軸于C(x1,0),D(x2,0)兩點(diǎn),(x1<x2)且

    (1)試確定m的值;

    (2)過點(diǎn)A(-1,-5)和拋物線的頂點(diǎn)M的直線交x軸于點(diǎn)B,求B點(diǎn)的坐標(biāo);

    (3)設(shè)點(diǎn)P(a,b)是拋物線上點(diǎn)C到點(diǎn)M之間的一個動點(diǎn)(含C、M點(diǎn)),是以PO為腰、底邊OQ在x軸上的等腰三角形,過點(diǎn)Q作x軸的垂線交直線AM于點(diǎn)R,連結(jié)PR。設(shè)的面積為S,求S與a之間的函數(shù)關(guān)系式。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線x軸的正半軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B

1.求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),并求直線AB的解析式;

2.設(shè))是直線上的一點(diǎn),QOP的中點(diǎn)(O是原點(diǎn)),以PQ為對角線作正方形PEQF.若正方形PEQF與直線AB有公共點(diǎn),求x的取值范圍;

3.在(2)的條件下,記正方形PEQF與△OAB公共部分的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)解析式,并探究S的最大值.

 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年廣東省初三第二學(xué)期質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,已知拋物線交x軸的正半軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B.

1.求直線AB的解析式;

2.設(shè)P(x,y)(x>0)是直線y = x上的一點(diǎn),Q是OP 的中點(diǎn)(O是原點(diǎn)),以PQ為對角線作正方形PEQF,若正方形PEQF與直線AB有公共點(diǎn),求x的取值范圍;

3.在(2)的條件下,記正方形PEQF與△OAB公共部分的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)解析式,并探究S的最大值.

 

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