Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,C兩點(diǎn)，且與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，動(dòng)點(diǎn)D在直線BC下方的二次函數(shù)圖象上.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如圖1，連接DC,DB,設(shè)△BCD的面積為S,求S的最大值；

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，是否存在點(diǎn)D，使得△CDM中的某個(gè)角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）二次函數(shù)的表達(dá)式為：；（2）4；（3）或.

【解析】

（1）先求得點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再代入求得b、c的值，即可得二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則.用含有a的代數(shù)式表示出的長(zhǎng)，再根據(jù)得到S與a的二次函數(shù)關(guān)系，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答；（3）在x軸上取點(diǎn)K，使CK=BK，則∠OKC=2∠ABC，過(guò)點(diǎn)B作BQ∥MD交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H，分∠DCM=∠QCB=2∠ABC和∠CDM=∠CQB=2∠ABC兩種情況求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)即可.

（1）直線，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

∴，.

∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，

∴解得

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：.

（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

依題意設(shè)，則.

其中，

∴，

∴

，

，

，

，

，

.

∵，∴拋物線開(kāi)口向下．

又∵，

∴當(dāng)時(shí)，有最大值， ；

（3）或

在軸上取點(diǎn)，使，則.

過(guò)點(diǎn)作∥交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，

.

在中，，解得.∴.

當(dāng)時(shí)，

∴.

∴.

易證∽.

∴.

∴,.

∴.

∵，

∴直線的函數(shù)表達(dá)式為：.

由，解得：，（舍）.

∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.

②當(dāng)時(shí)，方法同①，可確定點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.