Question

【題目】在ABCD中，點(diǎn)P和點(diǎn)Q是直線BD上不重合的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AP∥CQ，AD=BD．

（1）如圖①，求證：BP+BQ=BC；

（2）請(qǐng)直接寫出圖②，圖③中BP、BQ、BC三者之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；

（3）在（1）和（2）的條件下，若DQ=1，DP=3，則BC=______．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析;（2）圖②：BQ﹣BP=BC， 圖③：BP﹣BQ=BC;（3）BC=2或4．

【解析】分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明△ADP≌△CBQ，得BQ=PD，由AD=BD=BC得：BC=BD=BP+PD=BP+BQ；（2）圖②，證明△ABP≌△CDQ，得PB=DQ，根據(jù)線段的和得結(jié)論；圖③，證明△ADP≌△CBQ，得PD=BQ，同理得出結(jié)論；（3）分別代入圖①和圖②條件下的BC，計(jì)算即可．

本題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC，∴∠ADB=∠CBD，

∵AP∥CQ，∴∠APQ=∠CQB，∴△ADP≌△CBQ， ∴DP=BQ，

∵AD=BD，AD=BC，∴BD=BC，∵BD=BP+DP，∴BC=BP+BQ；

（2）圖②：BQ﹣BP=BC，理由是：

∵AP∥CQ，∴∠APB=∠CQD，

∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，

∴∠ABP=∠CDQ，∵AB=CD，

∴△ABP≌△CDQ，∴BP=DQ，

∴BC=AD=BD=BQ﹣DQ=BQ﹣BP；

圖③：BP﹣BQ=BC，理由是：

同理得：△ADP≌△CBQ，

∴PD=BQ，

∴BC=AD=BD=BP﹣PD=BP﹣BQ；

（3）圖①，BC=BP+BQ=DQ+PD=1+3=4，

圖②，BC=BQ﹣BP=PD﹣DQ=3﹣1=2，

∴BC=2或4．