【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線yx2+bx+cx軸交于AB兩點,與y軸交于點C,對稱軸為直線x2,點A的坐標為(10).

1)求該拋物線的表達式及頂點坐標;

2)點P為拋物線上一點(不與點A重合),連接PC.當∠PCB=∠ACB時,求點P的坐標;

3)在(2)的條件下,將拋物線沿平行于y軸的方向向下平移,平移后的拋物線的頂點為點D,點P的對應點為點Q,當ODDQ時,求拋物線平移的距離.

【答案】1yx24x+3,拋物線頂點坐標是(2,﹣1);(2P);(3)拋物線平移的距離為

【解析】

1)由拋物線的對稱性質(zhì)得到點B的坐標,把點A、B的坐標分別代入拋物線解析式,列出方程組,通過解方程組求得系數(shù)的值;根據(jù)拋物線解析式求得頂點坐標;

2)過點PPNx軸于N,過點CCMPN,交NP的延長線于點M,構(gòu)造矩形COMN和直角三角形,利用銳角三角函數(shù)的定義求得 ,故設PM=aMC=3a,PN=3-a.易得P3a3-a),由二次函數(shù)圖象上點的坐標特征列出關于a的方程,通過解方程求得a的值,易得點P的坐標;

3)設拋物線平移的距離為m,得y=x-22-1-m.從而求得D2,-1-m).過點D作直線EFx軸,交y軸于點E,交PQ延長線于點F.易推知∠EOD=QDF,則tanEOD=tanQDF,根據(jù)銳角三角函數(shù)定義列出關于m的方程,通過解方程求得m的值.

解:(1)∵對稱軸為直線x2,點A的坐標為(1,0),

∴點B的坐標是(30).

A1,0),B3,0)分別代入yx2+bx+c,得

解得

則該拋物線解析式是:yx24x+3

yx24x+3=(x221知,該拋物線頂點坐標是(2,﹣1);

2)如圖1,過點PPNx軸于N,過點CCMPN,交NP的延長線于點M,

∵∠CON90°,

∴四邊形CONM是矩形.

∴∠CMN90°,COMN、

yx24x+3,

C0,3).

B3,0),

OBOC3

∵∠COB90°,

∴∠OCB=∠BCM45°.

又∵∠ACB=∠PCB,

∴∠OCB﹣∠ACB=∠BCM﹣∠PCB,即∠OCA=∠PCM

tanOCA=tanPCM

故設PMa,MC3a,PN3a

P3a,3a),

將其代入拋物線解析式yx24x+3,得(3a243a+33a

解得a1a20(舍去).

P,).

3)設拋物線平移的距離為m,得y=(x221m

D2,﹣1m).

如圖2,過點D作直線EFx軸,交y軸于點E,交PQ延長線于點F,

∵∠OED=∠QFD=∠ODQ90°,

∴∠EOD+ODE90°,∠ODE+QDP90°.

∴∠EOD=∠QDF

tanEODtanQDF,

解得m

故拋物線平移的距離為

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