Question

【題目】如圖所示, 中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=2，⊙O是△ABC的外接圓，D是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=1，連接DA，點(diǎn)P是射線DA上的動(dòng)點(diǎn)。

（1）求證DA是⊙O的切線；
（2）DP的長(zhǎng)度為多少時(shí)，∠BPC的度數(shù)最大，最大度數(shù)是多少？請(qǐng)說(shuō)明理由。
（3）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，（PB+PC）的值能否達(dá)到最小，若能，求出這個(gè)最小值，若不能，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接AO，易知：

△ABO是等邊三角形，AB=BD=1;

∴∠ADC=∠DAC=∠ABO=30°,而∠AOC=60°;

∴∠DAO=90°

∴DA是⊙o的切線；

（2）

解：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到A處時(shí)，即DP=DA=時(shí)，∠BPC的度數(shù)達(dá)到最大，最大值為90°.理由如下：

若點(diǎn)P不在A處時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)P在DA的延長(zhǎng)線上，連接BP，與⊙o交于一點(diǎn)，記為點(diǎn)E，連接CE，

∴∠BPC＜∠BEC=∠BAC=90°;

（3）

解:作點(diǎn)C關(guān)于射線DA的對(duì)稱點(diǎn)C′，則BP+PC=BP+PC′,當(dāng)點(diǎn)C′,P,B三點(diǎn)共線時(shí)，（PB+PC）的值達(dá)到最小，最小為BC.

過(guò)點(diǎn)作DC的垂線，垂足記為點(diǎn)H，連接DC′;

在RT△DCP中，∠PDC=30°;

∴△DCC′為等邊三角形，

∴H為DC的中點(diǎn)，

∴BH=DH-DB=CD-DB=-1=;

∴C′H=DH=;

由勾股定理求出：BC′=;

∴（PB+PC）的最小值為；

【解析】（1）連接AO，易知：△ABO是等邊三角形，通過(guò)計(jì)算可以得出∠DAO=90°，所以DA是⊙o的切線；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到A處時(shí)，即DP=DA= 時(shí)，∠BPC的度數(shù)達(dá)到最大，最大值為90°.理由如下：若點(diǎn)P不在A處時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)P在DA的延長(zhǎng)線上，連接BP，與⊙o交于一點(diǎn)，記為點(diǎn)E，連接CE，所以∠BPC＜∠BEC=∠BAC=90°;
（3）作點(diǎn)C關(guān)于射線DA的對(duì)稱點(diǎn)C′，則BP+PC=BP+PC′,當(dāng)點(diǎn)C′,P,B三點(diǎn)共線時(shí)，（PB+PC）的值達(dá)到最小，最小為BC.過(guò)點(diǎn)作DC的垂線，垂足記為點(diǎn)H，連接DC；通過(guò)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出。
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的兩點(diǎn)間的距離和等邊三角形的性質(zhì)，需要了解同軸兩點(diǎn)求距離，大減小數(shù)就為之．與軸等距兩個(gè)點(diǎn)，間距求法亦如此．平面任意兩個(gè)點(diǎn)，橫縱標(biāo)差先求值．差方相加開平方，距離公式要牢記；等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°才能得出正確答案．