Question

【題目】在圖1至圖3中，的直徑，切于點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)，連接，是線段上一點(diǎn)，連接．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)，的距離最小時(shí)，求的長(zhǎng)；

（2）如圖2，若射線過(guò)圓心，交于點(diǎn)，，求的值；

（3）如圖3，作于點(diǎn)，連接，直接寫出的最小值．

Answer 1

【答案】（1）12；（2）；（3）的最小值為

【解析】

（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理的推論可得,∠BDC=90°，利用勾股定理求出AB，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求出CD，根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，的距離最小，從而求出PD的長(zhǎng)；

（2）連接，則，利用勾股定理即可求出AE，然后根據(jù)相似三角形的判定定理證出，列出比例式，根據(jù)正切的定義即可求出結(jié)論；

（3）以 為直徑作，則為的中點(diǎn)，利用勾股定理和圓的基本性質(zhì)求出半徑DG，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得點(diǎn)H一定在上，當(dāng)點(diǎn)，，在一條直線上時(shí)，最小，利用勾股定理求出CG，即可求出結(jié)論．

解：（1）如圖1，連接，

切于點(diǎn)，BC為直徑

,∠BDC=90°

，，

．

由,

即,

解得，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，的距離最小，此時(shí)．

（2）如圖2，連接，則．

由（1）知，，

由，

得，

解得．

，

．

又，

，

．

．

（3）的最小值為．

如圖3，以 為直徑作，則為的中點(diǎn)，

BD=

∴，

，

∴點(diǎn)總在上，，

∴當(dāng)點(diǎn)，，在一條直線上時(shí)，最小，

此時(shí)，，

，

即的最小值為．