【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線C:y=ax2+bx+cx軸相交于A,B兩點,頂點為D(0,4),AB=4,設(shè)點F(m,0)x軸的正半軸上一點,將拋物線C繞點F旋轉(zhuǎn)180°,得到新的拋物線C/

(1)求拋物線C的函數(shù)表達(dá)式;

(2)若拋物線C/與拋物線Cy軸的右側(cè)有兩個不同的公共點,求m的取值范圍.

(3)如圖2,P是第一象限內(nèi)拋物線C上一點,它到兩坐標(biāo)軸的距離相等,點P在拋物線C/上的對應(yīng)點P/,設(shè)MC上的動點,NC/上的動點,試探究四邊形PMP/N能否成為正方形?若能,請直接寫出m的值;若不能,請說明理由.

【答案】(1);(2)2<m;(3)m=6m=﹣3.

【解析】

試題(1)由題意拋物線的頂點C(0,4),A,0),設(shè)拋物線的解析式為,把A,0)代入可得a=,由此即可解決問題;

(2)由題意拋物線C的頂點坐標(biāo)為(2m,﹣4),設(shè)拋物線C的解析式為,由,消去y得到,由題意,拋物線C與拋物線Cy軸的右側(cè)有兩個不同的公共點,則有,解不等式組即可解決問題;

(3)情形1,四邊形PMPN能成為正方形.作PEx軸于E,MHx軸于H.由題意易知P(2,2),當(dāng)PFM是等腰直角三角形時,四邊形PMPN是正方形,推出PF=FM,PFM=90°,易證PFE≌△FMH,可得PE=FH=2,EF=HM=2﹣m,可得Mm+2,m﹣2),理由待定系數(shù)法即可解決問題;情形2,如圖,四邊形PMPN是正方形,同法可得Mm﹣2,2﹣m),利用待定系數(shù)法即可解決問題.

試題解析:(1)由題意拋物線的頂點C(0,4),A,0),設(shè)拋物線的解析式為,把A,0)代入可得a=,∴拋物線C的函數(shù)表達(dá)式為

(2)由題意拋物線C的頂點坐標(biāo)為(2m,﹣4),設(shè)拋物線C的解析式為,由,消去y得到 ,由題意,拋物線C與拋物線Cy軸的右側(cè)有兩個不同的公共點,則有,解得2<m,∴滿足條件的m的取值范圍為2<m

(3)結(jié)論:四邊形PMPN能成為正方形.

理由:1情形1,如圖,作PEx軸于EMHx軸于H

由題意易知P(2,2),當(dāng)PFM是等腰直角三角形時,四邊形PMPN是正方形,∴PF=FM,PFM=90°,易證PFE≌△FMH,可得PE=FH=2,EF=HM=2﹣m,Mm+2,m﹣2),∵點M上,∴,解得m=﹣3或﹣﹣3(舍棄),∴m=﹣3時,四邊形PMPN是正方形.

情形2,如圖,四邊形PMPN是正方形,同法可得Mm﹣2,2﹣m),把Mm﹣2,2﹣m)代入中,,解得m=60(舍棄),∴m=6時,四邊形PMPN是正方形.

綜上所述:m=6m=﹣3時,四邊形PMPN是正方形.

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(1)求反比例函數(shù)的解析式;

(2)求△OEF的面積;

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