【題目】如圖(1),拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0)兩點(x1<0<x2),與y軸交于點C(0,-3),若拋物線的對稱軸為直線x=1,且tan∠OAC=3.

(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)若點D是拋物線BC段上的動點,且點D到直線BC距離為 ,求點D的坐標
(3)如圖(2),若直線y=mx+n經(jīng)過點A,交y軸于點E(0, - ),點P是直線AE下方拋物線上一點,過點P作x軸的垂線交直線AE于點M,點N在線段AM延長線上,且PM=PN,是否存在點P,使△PMN的周長有最大值?若存在,求出點P的坐標及△PMN的周長的最大值;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

在Rt△AOC中,tan OAC= =3,且OC=3,

∴OA=1,A(-1,0)

∵拋物線的對稱軸為直線x=1

∴由中點坐標公式可求: ,解得x=3

∴B(3,0)

∴可設(shè)拋物線的表達式為:y=a(x-3)(x+1)

將C(0,-3)代入上式中,a×(-3)=-3,

解得:a=1

∴拋物線的表達式為:y=(x-3)(x+1)=x2-2x-3


(2)

∵B(3,0)、C(0,-3)

設(shè)D(x,x2-2x-3).連接OD.

=

=

=

=3

解得:x1=1,x2=2

∴D(1,-4)(2,-3)


(3)

由A(-1,0)、E(0,- )可求:

直線AE的表達式為:y= ,AE=

設(shè)p(t,t2-2t-3),則M(t, t

∴PM= t -(t2-2t-3)=- t2+

作PG⊥MN于G,

由PM=PN得:MG=NG= MN

由△PMG∽△AEO有: ,即

∴MG= PM=NG

∴C△PMN=PM+PN+MN= PM= (- t2+ )=- t2+ t+6

∴當t= 時,C△PMN有最大值為 ,此時P


【解析】(1)C點的坐標已知,tan∠OAC,據(jù)此求出A點坐標;對稱軸是x=1,據(jù)此求出B點坐標。(2)B、C兩點的坐標是已知,根據(jù)兩點之間的距離公式求出BC的長度,點D到直線BC的距離為 ,根據(jù) BCD的面積求出D點的坐標。(3)已知A、E兩點的坐標,可以先求出直線AE的表達式。易知P、M的橫坐標相同,分別設(shè)出P、M兩點。用PM分別表示出PN,MN,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),求出 PMN周長的最大值及此時P點的坐標。
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點;增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減。粚ΨQ軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小才能正確解答此題.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】(1)有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示,且,化簡:

 

(2).已知在數(shù)軸上的位置如圖所示,化簡:

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知A,B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是m,n.

(1)填寫下表:

(2)若A,B兩點間的距離為d,寫出dm,n之間的數(shù)量關(guān)系.

(3)在數(shù)軸上標出所有符合條件的整數(shù)點P,使它到5-5的距離之和為10,并求出所有這些整數(shù)的和.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在梯形紙片ABCD中,AD//BC,AD>CD,將紙片沿過點D的直線折疊,使點C落在AD上的點C處,折痕DE交BC于點E,連結(jié)C′E.

求證:四邊形CDC′E是菱形.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】一次數(shù)學活動課上,老師留下了這樣一道題“任畫一個△ABC,以BC的中點O為對稱中心,作△ABC的中心對稱圖形,問△ABC與它的中心對稱圖形拼成了一個什么形狀的特殊四邊形?并說明理由.”

于是大家討論開了,小亮說:“拼成的是平行四邊形”; 小華說:“拼成的是矩形”;

小強說:“拼成的是菱形”; 小紅說:“拼成的是正方形”;其他同學也說出了自己的看法……你贊同他們中的誰的觀點?為什么?若都不贊同,請說出你的觀點(畫出圖形),并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在一個不透明的口袋里裝有若干個相同的紅球,為了估計袋中紅球的數(shù)量,某學習小組做了摸球?qū)嶒,他們?0個與紅球大小形狀完全相同的白球裝入袋中,攪勻后從中隨機摸出一個球并記下顏色,再把它放回袋中,不斷重復(fù).下表是幾次活動匯總后統(tǒng)計的數(shù)據(jù):

(1)請估計:當次數(shù)s很大時,摸到白球的頻率將會接近    ;假如你去摸一次,你摸到白球的概率是   (精確到0.1).

(2)試估算口袋中紅球有多少只?

(3)解決了上面的問題后請你從統(tǒng)計與概率方面談一條啟示.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,ABC中,DAB的中點,EAC上一點,EFAB, DFBE.請你猜想DFAE的關(guān)系,并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知點A在數(shù)軸上對應(yīng)的有理數(shù)為a,將點A向左移動6個單位長度,再向右移動2個單位長度與點B重合,點B對應(yīng)的有理數(shù)為﹣24.

(1)求a;

(2)如果數(shù)軸上的點C在數(shù)軸上移動3個單位長度后,距B8個單位長度,那么移動前的點C距離原點有幾個單位長度?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某商場籌集資金12.8萬元,一次性購進空調(diào)、彩電共30臺.根據(jù)市場需要,這些空調(diào)、彩電可以全部銷售,全部銷售后利潤不少于1.5萬元,其中空調(diào)、彩電的進價和售價見表格.


空調(diào)

彩電

進價(元/臺)

5400

3500

售價(元/臺)

6100

3900

設(shè)商場計劃購進空調(diào)x臺,空調(diào)和彩電全部銷售后商場獲得的利潤為y元.

1)試寫出yx的函數(shù)關(guān)系式;

2)商場有哪幾種進貨方案可供選擇?

3)選擇哪種進貨方案,商場獲利最大?最大利潤是多少元?

查看答案和解析>>

同步練習冊答案