Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點A（﹣3，0）和點B（2，0）．直線（為常數，且）與BC交于點D，與軸交于點E，與AC交于點F．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接AE，求為何值時，△AEF的面積最大；

（3）已知一定點M（﹣2，0）．問：是否存在這樣的直線，使△BDM是等腰三角形？若存在，請求出的值和點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） ；（2） ；（3）存在， ，D(,).

【解析】試題分析：（1）利用待定系數法即可解決問題．

（2）由題意可得點E的坐標為（0，h），點F的坐標為（ ，h），根據S△AEF=OEFE=h=-（h-3）2+．利用二次函數的性質即可解決問題．

（3）分三種情形，分別列出方程即可解決問題．

試題解析：（1）將A(-3，0)，點B(2，0)兩點代入拋物線方程得，

解得，

所以拋物線的解析式為.

（2）如圖所示，根據拋物線方程可知點C(0，6),

又∵A(-3，0)

∴直線AC的解析式為，

∵點F的縱坐標為，所以其橫坐標為，即F(,)可得EF=，

∴

∴當=3時，△AEF的最大面積為.

（3）∵B(2，0), C(0，6)

∴直線BC的解析式為，

∵點D的縱坐標為，所以其橫坐標為，即D(,)

分三種情況討論：

①當MD=BD時，點D應該在BM的垂直平分線y軸上，而﹤6∴點D不在y軸上，所以（舍）

②當MD=BM=4時，過D點做DQ⊥x軸于點Q, ∴MQ=+2=4-,DQ=

在中∴ 解得=0（舍）或=

∴D(,)

③當BD=BM=4時，過D點做DQ⊥x軸于點Q, ∴BQ=2-=,DQ=

在中∴，解得

∴D(,)