Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，AC平分∠DAB，AD⊥CD于D．

（1）求證：直線(xiàn)CD是⊙O的切線(xiàn)；

（2）若AB=10，sin∠ACD=，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)4.

【解析】

（1）連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及角平分線(xiàn)的定義易證∠OCA=∠CAD，即可得OC∥AD，由AD⊥CD，可得OC⊥CD，即可證得直線(xiàn)CD是⊙O的切線(xiàn)；（2）連接BC，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角可得∠ACB=90°，即可證得∠B=∠ACD；在Rt△ABC中求得AC的長(zhǎng)， 在Rt△ACD中求得AD的長(zhǎng)；在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理求得CD的長(zhǎng)即可．

（1）證明：連接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵AC平分∠OAD，

∴∠OAC=∠CAD，

∴∠OCA=∠CAD，

∴OC∥AD，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∵OC是⊙O的半徑，

∴直線(xiàn)CD是⊙O的切線(xiàn)；

（2）連接BC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠B+∠OAC=90°，

∵∠OAC=∠CAD，∠ACD+∠CAD=90°，

∴∠B=∠ACD，

在Rt△ABC中， =sinB=sin∠ACD=，

∴AC=2，

∴在Rt△ACD中，sin∠ACD==，

∴AD=2，

∴在Rt△ACD中，CD==4．