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【題目】如圖,在等腰直角三角形ABC中,,,DAB的中點,E、F分別是AC、BC上的點(點E不與端點AC重合),連接EF并取EF的中點O,連接DO并延長至點G,使,連接DE、GE、GF.

1)求證:四邊形EDFG是平行四邊形;

2)若,探究四邊形EDFG的形狀?

3)在(2)的條件下,當E點在何處時,四邊形EDFG的面積最小,并求出最小值.

【答案】1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)當E點在AC中點時,四邊形EDGF的面積最小為4.

【解析】

1)根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得結論;

2)連接CD,根據等腰直角三角形的性質可得出∠A=∠DCF45°、ADCD,結合AECF可證出△ADE≌△CDFSAS),根據全等三角形的性質可得出DEDF、ADE=∠CDF,通過角的計算可得出∠EDF90°,再根據(1)中的結論,由此即可證出四邊形EDFG是正方形;

3)過點DDE′⊥ACE′,根據等腰直角三角形的性質可得出DE′的長度,從而得出2DE2,再根據正方形的面積公式即可得出四邊形EDFG的面積的最小值.

1)證明:∵OEF的中點,

OEOF,

OGOD,

∴四邊形EDFG是平行四邊形;

2)解:四邊形EDFG是正方形,理由是:

連接CD,如圖1所示,

∵△ABC為等腰直角三角形,∠ACB90°,DAB的中點,

∴∠A=∠DCF45°,ADCD

在△ADE和△CDF中,

,

∴△ADE≌△CDFSAS),

DEDF,∠ADE=∠CDF

∵∠ADE+∠EDC90°,

∴∠EDC+∠CDF=∠EDF90°,

由(1)知:四邊形EDFG是平行四邊形;

∴四邊形EDFG是正方形;

3)解:過點DDE′⊥ACE′,如圖2所示.

∵△ABC為等腰直角三角形,∠ACB90°,ACBC4,

DE′=BC2,AB4,點E′為AC的中點,

2DE2(點E與點E′重合時取等號).

4S四邊形EDFGDE28

∴當點E為線段AC的中點時,四邊形EDFG的面積最小,該最小值為4

練習冊系列答案
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(1)求的值;

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