Question

【題目】已知拋物線過點A（1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點為拋物線在直線下方圖形上的一動點，當面積最大時，求點的坐標；

（3）若點為線段上的一動點，問：是否存在最小值？若存在，求岀這個最小值；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）.（2）（，）.（3）存在，.

【解析】

（1）設(shè)拋物線的解析式為，求出點C坐標，結(jié)合點A和點B坐標，利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）設(shè)直線BC的解析式為：，求出BC的解析式，過點P作y軸的平行線交BC于點H，設(shè)出點P的坐標，利用求出表達式，從而得到取最大值時點P的坐標；

（3）過點C作與y軸夾角為的直線CH，過點A作于H，得到，得到時值最小，分別求出HC和AH的表達式，聯(lián)立求出x，從而得到點H坐標，再結(jié)合點A坐標求出AH的長，即可得到結(jié)果.

解：（1）拋物線過點A（1，0），B（3，0）兩點，，

∵點C的坐標為（0，3），

設(shè)拋物線的解析式為，則，

解得：，

∴拋物線的解析式為；

（2）設(shè)直線BC的解析式為：，

則，

解得：，

故直線BC的解析式為：，

過點P作y軸的平行線交BC于點H

設(shè)點P的坐標為（x，），則點H的坐標為（x，）

則

∵

∴面積有最大值，此時

故點P的坐標為（，）；

（3）存在，理由如下

如圖，過點C作與y軸夾角為的直線CH，過點A作于H

則，

∴時值最小

直線HC所在表達式中的k的值為，直線HC的表達式為：①

則直線AH所在表達式中的k的值為：

則直線AH所在表達式為：，將點A的坐標代入上式并解得：

則直線AH所在表達式為：②

聯(lián)立①②并解得：

故點H（，），而點A（1，0）

則

即：的最小值為.