Question

已知拋物線（）與軸相交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為.直線 分別與軸，軸相交于兩點(diǎn)，并且與直線相交于點(diǎn).
（1）如圖，將沿軸翻折，若點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)′恰好落在拋物線上，′與軸交于點(diǎn)，連結(jié)，求的值和四邊形的面積；

（2）在拋物線（）上是否存在一點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由.

Answer 1

（1），；（2）或

試題分析：（1）先求得，由題意得點(diǎn)與點(diǎn)′關(guān)于軸對稱，即可得到點(diǎn)′的坐標(biāo)，從而求得a的值，即得點(diǎn)到軸的距離為3，再根據(jù)待定系數(shù)法求得直線的解析式，再求得它與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到四邊形的面積；
（2）當(dāng)點(diǎn)在軸的左側(cè)時，若是平行四邊形，則平行且等于，則把向上平移個單位得到，坐標(biāo)為，代入拋物線的解析式即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)在軸的右側(cè)時，若是平行四邊形，則與互相平分，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo).
（1）
由題意得點(diǎn)與點(diǎn)′關(guān)于軸對稱，，
將′的坐標(biāo)代入得，
（舍去）， ，點(diǎn)到軸的距離為3.
， ，直線的解析式為，
它與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)到軸的距離為.

（2）當(dāng)點(diǎn)在軸的左側(cè)時，若是平行四邊形，則平行且等于，
把向上平移個單位得到，坐標(biāo)為，代入拋物線的解析式，
得：
（不舍題意，舍去），，
當(dāng)點(diǎn)在軸的右側(cè)時，若是平行四邊形，則與互相平分，
．
與關(guān)于原點(diǎn)對稱，
，
將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式得：，
（不合題意，舍去），，．
存在這樣的點(diǎn)或，能使得以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
點(diǎn)評：此類問題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．