Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線過點A(0，4)和C(8，0)，P(t，0)是軸正半軸上的一個動點，M是線段AP的中點，將線段MP繞點P順時針旋轉90°得線段PB．過B作軸的垂線、過點A作軸的垂線，兩直線相交于點D．

（1）求b、c的值；
（2）當t為何值時，點D落在拋物線上；
（3）是否存在，使得以A、B、D為頂點的三角形與△AOP相似？若存在，求此時的值；若不存在，請說明理由；
（4）連結AC，在點P運動過程中，若以PB為直徑的圓與直線AC相切，直接寫出此時t的值．

Answer 1

（1）；（2）1；（3）；（4）     

試題分析：（1）首先由勾股定理求得線段AC的長，然后利用△AOC∽△BOA求得線段BE、AE的長，從而求得點B的坐標；
（2）由△AOP∽△PEB根據(jù)相似三角形的性質可得PE=2，即得點D的坐標為（，4），再代入二次函數(shù)關系式求解即可；
（3）分0＜t＜8時和t＞8兩種情況，利用△AOC∽△BEA根據(jù)相似三角形的性質求解即可；
（4）先求得AC的解析式，設BP的中點為N，由，可得，AP=，過點N作FN//AC交y軸于點F，過點F作FH⊥AC于點H，可設，可得，即，由△AFH∽△ACO可得，由AF=4-m可得，由可得，即可求得結果.
（1）由題意得，解得；
（2）△AOP∽△PEB且相似比為，PE=2，求得點D的坐標為（，4）
∴       
解得 
∵ 
；
（3）①當時，如圖（1）

若△POA∽△ADB
，即   
∴無解
若△POA∽△BDA，同理，解得；
②當時，如圖（2）
若△POA∽△ADB
，即
解得，取
若△POA∽△BDA，同理，解得無解
∴；
（4）∵A（0，4），C（8，0）
∴AC的解析式為
設BP的中點為N，由，可得，AP=
過點N作FN//AC交y軸于點F，過點F作FH⊥AC于點H

可設，可得，即
由△AFH∽△ACO可得，由AF=4-m可得
由可得，
∴
整理得31t²－336t＋704＝0，解得
點評：本題知識點多，綜合性強，難度較大，一般是中考壓軸題，主要考查學生對二次函數(shù)的性質的熟練掌握情況.