Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)M在AC邊上，點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)沿折線CB﹣BA運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A停止，點(diǎn)P是點(diǎn)C關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)，連接MP，NP（當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)C，A重合時(shí)，點(diǎn)P均與點(diǎn)C重合）．

（1）若CM=2，
①又當(dāng)點(diǎn)N在CB上，MP∥BC時(shí)，則CN= ， MN=；
（2）在（1）的條件下，求點(diǎn)P到AB邊的距離的最小值，并求出當(dāng)取得這個(gè)最小值時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)是多少？（參考數(shù)據(jù)：sin54°=cos36°≈ ，sin36°=cos54°≈ ，結(jié)果保留π）
（3）設(shè)MC=a（a＞2），其他條件不變，當(dāng)有且只能有唯一的點(diǎn)P落在線段AB上時(shí)，直接寫出a的取值范圍 ．

Answer 1

【答案】
（1）2,2 ②又當(dāng)MN∥AB時(shí),求CN的長(zhǎng)；解：當(dāng)MN∥AB時(shí),△MNC∽△ABC,∴ ,即 ,∴CN=
（2）解：P在M為圓心，CM為半徑的圓周上運(yùn)動(dòng)，

作MT⊥AB于T，如圖2所示：

則PT=MT﹣2，當(dāng)MT最小時(shí)，P在線段MT上最小，

∵AB= =10，sinA= = = ，

∴MT= AM= （6﹣2）= ，

∴PT= ﹣2= ，

即點(diǎn)P到AB邊的距離的最小值為 ；

∵cos∠AMT=sinA= ，

∴∠AMT=36°，

∴∠CMT=180°﹣36°=144°，

∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)= =

（3）a= 或3＜a≤6
【解析】解：（1）①連接CP，如圖1所示：

由對(duì)稱的性質(zhì)得：PM=CM=2，PC⊥MN，

∵M(jìn)P∥BC，∠C=90°，

∴∠PMC=90°，

∴△PMC是等腰直角三角形，

∴∠PCM=45°，

∴∠PCN=90°﹣45°=45°，

∴∠CNM=45°，

∴△CMN是等腰直角三角形，

∴CN=CM=2，MN= CM=2 ；

所以答案是：2，2 ；

⑶分情況：①當(dāng)圓M與AB相切時(shí)，sinA= ，

解得：a= ；②當(dāng) ＜a≤3時(shí)，圓M與AB有2個(gè)交點(diǎn)；③當(dāng)3＜a≤6時(shí)，圓M與線段AB僅1個(gè)交點(diǎn)；

綜上所述：當(dāng)a= 或3＜a≤6時(shí)，圓M與線段AB有1個(gè)交點(diǎn)；

即當(dāng)有且只能有唯一的點(diǎn)P落在線段AB上時(shí)，a的取值范圍是a= 或3＜a≤6；

所以答案是：a= 或3＜a≤6．

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與圓的三種位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握直線與圓有三種位置關(guān)系：無公共點(diǎn)為相離；有兩個(gè)公共點(diǎn)為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)才能正確解答此題．