【題目】在菱形ABCD中,AB=2 ,AC是對角線,∠B=60°,點E在BC邊上,點F在DC邊上,且∠EAF=60°,AE與DC的延長線交于點M,AF與BC的延長線交于點N.

(1)如圖1,若點E為BC邊上的中點.
①求證:△ACM≌△ACN;
(2)如圖2,若點E為BC邊上的任意點(不與點B,C重合),請說明CMNC是一個定值.

【答案】
(1)證明,∵AC是菱形ABCD的對角線,∠B=60°,點E為BC邊上的中點,

∴∠MAC=∠NAC=30°,∠ACD=∠ACB=60°,

∴∠ACM=∠ACN=120°.

在△ACM與△ACN中,

,

∴△ACM≌△ACN(ASA)

②CMNC的值是

12


(2)證明:∵∠EAF=60°,即∠MAC+∠NAC=60°.

又∠ACD=60°,

∴∠MAC+∠AMC=60°,

∴∠AMC=∠NAC.

又∠ACM=∠ACN=120°,

∴△ACM∽△NCA,

= ,

由題意可知,△ABC是等邊三角形,

∴AC=AB=2 ,

∴CMNC=AC2=(2 2=12,即CMNC是一個定值.


【解析】(1)②解:∵∠MAC=30°,∠ACM=120°,

∴∠AMC=30°,

∴CM=CA=2

∵△ACM≌△ACN,

∴CM=CN,

∴CMNC=CM2=12.

故答案是:12;

【考點精析】通過靈活運用相似三角形的判定與性質(zhì),掌握相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】閱讀下面材料:

小丁在研究數(shù)學(xué)問題時遇到一個定義:對于排好順序的三個數(shù): ,稱為數(shù)列.計算, , 將這三個數(shù)的最小值稱為數(shù)列的價值.例如,對于數(shù)列2,13,因為, , ,所以數(shù)列21,3的價值為

小丁進一步發(fā)現(xiàn):當(dāng)改變這三個數(shù)的順序時,所得到的數(shù)列都可以按照上述方法計算其相應(yīng)的價值.如數(shù)列﹣1,23的價值為;數(shù)列3,1,2的價值為1.經(jīng)過研究,小丁發(fā)現(xiàn),對于“2,1,3”這三個數(shù),按照不同的排列順序得到的不同數(shù)列中,價值的最小值為.根據(jù)以上材料,回答下列問題:

1)數(shù)列﹣4,﹣3,2的價值為 ;

2)將“﹣4﹣3,2”這三個數(shù)按照不同的順序排列,可得到若干個數(shù)列,這些數(shù)列的價值的最小值為 ,取得價值最小值的數(shù)列為 (寫出一個即可);

3)將2﹣9,aa1)這三個數(shù)按照不同的順序排列,可得到若干個數(shù)列.若這些數(shù)列的價值的最小值為1,則a的值為

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下面是小晶設(shè)計的“作互相垂直的兩條直線”的尺規(guī)作圖過程.

作法:如圖,

在平面內(nèi)任選一點O,作射線OAOB;

O為圓心,以任意長為半徑作弧,分別交OA于點C,交OB于點D

分別以C,D為圓心,以大于CD的同樣長為半徑作弧,兩弧交于∠AOB內(nèi)部一點P;

連接CP、PD;

作直線OP,作直線CD,兩直線相交于點E;則直線CDOP就是所求作的互相垂直的兩條直線.根據(jù)小晶設(shè)計的尺規(guī)作圖過程,

(1)使用直尺和圓規(guī),補全圖形;(保留作圖痕跡)

(2)完成下面的證明.

證明:∵OC   CP   ,OPOP

∴△OPC≌△OPD

∴∠AOP=∠BOP

OE是△COD的高線(   )(填推理的依據(jù))

OECD

CDOP互相垂直

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(﹣3,0)、B(1,0)、C(0,3)三點,其頂點為D,連接AD,點P是線段AD上一個動點(不與A、D重合),過點P作y軸的垂線,垂足點為E,連接AE.

(1)求拋物線的函數(shù)解析式,并寫出頂點D的坐標(biāo);
(2)如果P點的坐標(biāo)為(x,y),△PAE的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,直接寫出自變量x的取值范圍,并求出S的最大值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)S取到最大值時,過點P作x軸的垂線,垂足為F,連接EF,把△PEF沿直線EF折疊,點P的對應(yīng)點為點P′,求出P′的坐標(biāo),并判斷P′是否在該拋物線上.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,一張四邊形紙片ABCDAB=20,BC=16,CD=13,AD=5,對角線ACBC

(1)求AC的長;

(2)求四邊形紙片ABCD的面積;

(3)若將四邊形紙片ABCD沿AC剪開,拼成一個與四邊形紙片ABCD面積相等的三角形,直接寫出拼得的三角形各邊高的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知:點A在射線CE上,∠C=∠D

1)如圖1,若AC∥BD,求證:AD∥BC;

2)如圖2,若∠BAC=∠BAD,BD⊥BC,請?zhí)骄?/span>∠DAE∠C的數(shù)量關(guān)系,寫出你的探究結(jié)論,并加以證明;

3)如圖3,在(2)的條件下,過點DDF∥BC交射線于點F,當(dāng)∠DFE=8∠DAE時,求∠BAD的度數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,點M在AC邊上,點N從點C出發(fā)沿折線CB﹣BA運動到點A停止,點P是點C關(guān)于直線MN的對稱點,連接MP,NP(當(dāng)點N與點C,A重合時,點P均與點C重合).

(1)若CM=2,
①又當(dāng)點N在CB上,MP∥BC時,則CN= , MN=;
(2)在(1)的條件下,求點P到AB邊的距離的最小值,并求出當(dāng)取得這個最小值時,點P運動路線的長是多少?(參考數(shù)據(jù):sin54°=cos36°≈ ,sin36°=cos54°≈ ,結(jié)果保留π)
(3)設(shè)MC=a(a>2),其他條件不變,當(dāng)有且只能有唯一的點P落在線段AB上時,直接寫出a的取值范圍

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為進一步加強和改進學(xué)校體育工作,切實提高學(xué)生體質(zhì)健康水平,決定推進“一校一球隊、一級一專項、一人一技能”活動計劃,某校決定對學(xué)生感興趣的球類項目(A:足球,B:籃球,C:排球,D:羽毛球,E:乒乓球)進行問卷調(diào)查,學(xué)生可根據(jù)自己的喜好選修一門,李老師對某班全班同學(xué)的選課情況進行統(tǒng)計后,制成了兩幅不完整的統(tǒng)計圖(如圖)

(1)將統(tǒng)計圖補充完整
(2)求出該班學(xué)生人數(shù)
(3)若該校共用學(xué)生3500名,請估計有多少人選修足球?
(4)該班班委5人中,1人選修籃球,3人選修足球,1人選修排球,李老師要從這5人中任選2人了解他們對體育選修課的看法,請你用列表或畫樹狀圖的方法,求選出的2人恰好1人選修籃球,1人選修足球的概率

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,若∠A=15°,AB=BC=CD=DE=EF,則∠DEF等于__________

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同步練習(xí)冊答案