【題目】如圖1,E是等邊三角形ABC的邊AB所在直線上一點(diǎn),D是邊BC所在直線上一點(diǎn),且DC不重合,若ECED.則稱D為點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形ABC的反稱點(diǎn),點(diǎn)E稱為反稱中心.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,

1)已知等邊三角形AOC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)A在第一象限內(nèi),反稱中心E在直線AO上,反稱點(diǎn)D在直線OC上.

①如圖2,若E為邊AO的中點(diǎn),在圖中作出點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形AOC的反稱點(diǎn)D,并直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo):   ;

②若AE2,求點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形AOC的反稱點(diǎn)D的坐標(biāo);

2)若等邊三角形ABC的頂點(diǎn)為Bn,0),Cn+10),反稱中心E在直線AB上,反稱點(diǎn)D在直線BC上,且2AE3.請直接寫出點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形ABC的反稱點(diǎn)D的橫坐標(biāo)t的取值范圍:   (用含n的代數(shù)式表示).

【答案】(1)①D(-1,0); ②D(2,0);(2)

【解析】

(1)①根據(jù)題中反稱點(diǎn)與反稱中心的定義做出點(diǎn)D,可得坐標(biāo);

②易得AO=OC=2,由AE=2,分E點(diǎn)的兩個可能的位置(如圖3,圖4)討論,可得D點(diǎn)的值;

(2)由(1)可得反稱點(diǎn)與反稱中心的規(guī)律,當(dāng)B(n,0),C(n+1,0),2≤AE<3可得.

(1) 如圖,

D(-1,0)

∵等邊三角形AOC的兩個頂點(diǎn)為O(0,0),C(2,0),

OC=2.

AO=OC=2.

AE=2可知,點(diǎn)E有兩個可能的位置(如圖3,圖4).

3 4

() 如圖3,點(diǎn)E與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合.

EC=ED,EC=2,

ED=2.

D是邊OC所在直線上一點(diǎn),且DC不重合,

D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0) .

() 如圖4,點(diǎn)E在邊OA的延長線上,且AE=2.

AC=AE=2,

∴∠E=ACE.

∵△AOC為等邊三角形,

∴∠OAC =ACO=60°.

∴∠E=ACE=30°.

∴∠OCE=90°.

EC=ED,

∴點(diǎn)D與點(diǎn)C重合.

這與題目條件中的DC不重合矛盾,所以圖4中的情況不符合要求,舍去.

綜上所述:D(2,0). …

(2).

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1

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2

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